Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом , аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.
''Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.
Определение Векторный оператор Лапласа векторного поля определяется следующим образом:
Через оператор набла: .
Через градиент, дивергенцию и ротор: .
В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля :
,
где , , — компоненты векторного поля .
Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».
Обобщение
Лапласиан любого тензорного поля (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:
.
В случае если — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.
Если — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:
,
где (общий вид компоненты тензора), и могут принимать значения из множества .
Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:
.
Данное выражение зависит от системы координат.
Использование в физике Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости:
,
где слагаемое с векторным оператором Лапласа от поля скоростей представляет собой вязкость жидкости. Литература
Примечания
Категория:Дифференциальные операторы