Символ оператора — функция, ассоциированная с оператором и отражающая те или иные его свойства. Как правило символы задаются для операторов, принадлежащих некоторой алгебре. В таком случае отображение из элементов алгебры в их символы является линейным, то есть при сложении операторов и их умножении на число соответствующие символы также складываются и умножаются на то же число. При умножении операторов их символы обычно умножаются с точностью до членов, считающихся в определённом смысле младшими. Символ оператора часто является числовой функцией числовых переменных, но бывает и что он принимает значения в некоторой алгебре, более простой чем исходная.
Функции операторов, упорядоченных фейнмановскими номерами
Понятие символа оператора тесно связано с задачей введения функций от операторов, в некотором смысле аналогичных заданным функциям вещественных или комплексных переменных. В случае полиномов такая аналогия очевидна, нужно просто подставить в них операторы вместо переменных. Однако, операторы в общем случае не коммутируют и необходимо задать порядок их действия, что можно сделать с помощью фейнмановских номеров, например:
означает, что оператор действует первый, а оператор вторым, то есть
Пространство полиномиальных символов Пусть задана операторная алгебра
— множество многочленов от переменных. Пусть определено отображение
которое сопоставляет многочлену :
оператор
Функция называется символом оператора
Общее определение Пусть — некоторый класс функций от переменных , содержащий полиномы . Пусть задано отображение
Со следующими свойствами: Отображение линейно. гомоморфизм алгебр с единицей, причём если , то . Если , то
Функция называется символом оператора
Литература Маслов В. П., Операторные методы, М., 1973 Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Методы некоммутативного анализа, М.: Техносфера, 2002
Категория:Функциональный анализ