Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны имеют равную длину. Боковыми называются равные стороны, а третья сторона — основанием. Каждый правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Другие размеры треугольника, такие как высота, площадь и периметр, можно вычислить по простым формулам, зная длины боковых сторон и основания. Любой равнобедренный треугольник обладает зеркальной симметрией относительно биссектрисы (она же медиана и высота) его основания, которая проходит через противоположную вершину и его основание и делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Два равных угла у основания (противоположные боковым сторонам) всегда острые, поэтому классификация треугольника как острого, прямоугольного или тупого зависит только от угла между двумя его катетами.
Терминология Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.
Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник, который имеет две равные стороны, но современная трактовка предпочитает определение, где треугольник имеет хотя бы две равные стороны, определяя таким образом равносторонний треугольник как частный случай равнобедренного.
Симметрия Треугольник с двумя равными сторонами имеет одну ось симметрии, которая проходит через вершинный угол и середину основания. Эта ось симметрии совпадает с биссектрисой вершинного угла, медианой, проведённой к основанию, высотой, проведённой из вершинного угла и с серединным перпендикуляром.
Свойства
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Пусть a — длина равных боковых сторон, b — длина основания, h — высота к основанию, R — радиус описанной окружности, — углы при основании, — угол между боковыми сторонами. (следствие теоремы косинусов); ; (следствие теоремы косинусов); ; (теорема о проекциях); Радиус вписанной окружности может быть выражен пятью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:
Углы могут быть выражены следующими способами:
(теорема синусов). Угол также может быть найден без и . Треугольник делится медианой пополам, и в полученных двух равных прямоугольных треугольниках вычисляются углы :
Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами: (по определению); (следствие теоремы синусов).
Площадь треугольника находится следующими способами:
Теорема Лемуса-Штейнера
Доказан этот признак равнобедренного треугольника был только в XIX веке двумя математиками, Лемусом и Штейнером, которые обменивались письмами в течение нескольких лет.
Применение В графическом дизайне и декоративно-прикладном искусстве равнобедренные треугольники часто использовались в культурах по всему миру, по крайней мере с эпохи раннего неолита и до наших дней. Они часто встречаются на флагах и в геральдике, например в виде вертикального основания на флаге Гайаны или горизонтального основания на флаге Сент-Люсии, где они образуют стилизованное изображение горного острова.
См. также Теорема о равнобедренном треугольнике Равнобедренный прямоугольный треугольник
Примечания
Литература
Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
Категория:Виды треугольников