Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.
Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей . Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:
где — плотность гамильтониана
— координата в пространстве Минковского . Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:
Пространственноподобные гиперповерхности определяются трёхмерным многообразием в , которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор
являющийся времениподобным
Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени. Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности координатами трёхмерного пространства , тогда точки могут быть представлены в виде . Таким образом, каждая точка имеет собственную переменную времени .
Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги Рассмотрим точку и варьированную гиперповерхность , отличную от лишь в некоторой окрестности точки . Через обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между и . Тогда функциональная производная произвольного функционала , приставляющем собой отображение из множества гиперповерхностей в вещественные числа, определяетсяТакое определение требует, чтобы он был определён не только на пространственнопдобных гиперповерхностях, но и на их достаточно малых вариациях. следующим образом
Решение уравнения Швингера — Томонаги Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как
где — унитарный оператор эволюции, имеющий вид
где — упорядоченная по времени экспонента. — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как
где — начальная волновая функция.
Необходимое условие интегрируемости Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости, требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности :
Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана . Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов
Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:
Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.
Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера Расслоение пространства определяется гладким однопараметрическим семейством
состоящим из пространноподобных гиперповерхностей с тем свойством, что каждая точка принадлежит одной и только одной гиперповерхности :
Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке как . Фиксированное расслоение порождает семейство векторов-состояний
Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме
Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью и гиперповерхностью семейства, которое всецело лежит в будущем .
Пусть гиперповерхности могут быть определены неявным выражением
где — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали
Для удобство нормируем функцию определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали
Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний
где интегрирование выполняется по гиперповерхности . Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом
уравнение движения для векторов-состояния примет вид
Историческая справка Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность, связанная с тем, что в формализме квантовой механикиА также в исходном для неё формализмк классической гамильтоновой механики. время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.
Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность .
Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.
Примечания
Литература
Категория:Квантовая теория поля Шви́нгера — Томона́ги