Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.
Дискретный случай Пусть дана последовательность случайных величин . Тогда случайная величина называется марковским моментом (времени), если для любого событие зависит только от случайных величин .
Пример Пусть — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть , и
— момент первого достижения процессом уровня . Тогда — марковский момент, ибо тогда и только тогда, когда существует такое, что . Таким образом событие зависит лишь от поведения процесса до момента времени .
Пусть теперь
— момент последнего достижения процессом уровня . Тогда не является марковским моментом, ибо событие предполагает знание поведения процесса в будущем.
Общий случай Пусть дано вероятностное пространство с фильтрацией , где . Тогда случайная величина принимающая значения в называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если .
Если дан процесс , и — его естественные σ-алгебры, то говорят, что — марковский момент относительно процесса .
Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть .
Свойства Если и — марковские моменты, то
— марковский момент; — марковский момент; — марковский момент.
Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.
Пример Пусть — стандартный винеровский процесс. Пусть . Определим . Тогда — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности . В частности — момент остановки. Однако, .
См. также Цепь Маркова
Категория:Случайные процессы