Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается или .
Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.
Определение
Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку и прямую и зададим вещественное число ; тогда геометрическое место точек , для которых отношение расстояний до точки и до прямой равно , является коническим сечением; то есть, если есть проекция на , то . Это число называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.
Связанные определения
Точка называется фокусом конического сечения.
Прямая называется директрисой.
Коническое сечение в полярных координатах Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением
где — эксцентриситет, а — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).
Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.
Свойства
В зависимости от эксцентриситета, получится: при — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии; при — парабола; при — эллипс; для окружности полагают .
Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра. Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой () и большой () полуосей: . Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой () и действительной () полуосей: . Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением , равен . Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- () и апоцентров (): .
См. также Эксцентриситет орбиты Коническая константа
Примечания
Литература Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
Ссылки «Эксцентриситет» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг.
Категория:Конические сечения Категория:Небесная механика