Феномен Уилла Роджерса — кажущийся парадокс, заключающийся в том, что перемещение (численного) элемента из одного множества в другое может увеличить среднее значение обоих множеств.
Название основывается на цитате, приписываемой американскому комику Уиллу Роджерсу: «Когда оки покинули Оклахому и переехали в Калифорнию, то повысили средний интеллект обоих штатов».
Числовые примеры Рассмотрим два множества, A и B: A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9}.
Арифметическое среднее элементов A равно 2,5, элементов B — 7.
Однако, если число 5 переместить из B в A, получив A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8, 9},
то среднее значение элементов A повысится до 3, а среднее значение элементов B — до 7,5.
Рассмотрим более очевидный пример: A = {1, 2}, B = {99, , },
со средними значениями 1,5 и соответственно. Перемещение числа 99 из B в A поднимет их до 34 и . 99 на порядки больше 1 и 2 и, соответственно, гораздо меньше и . Поэтому, увеличение средних значений обоих множеств из-за перемещения 99 не должно быть неожиданностью.
Для увеличения средних значений, перемещаемый элемент не обязательно должен быть минимальным во втором множестве (и стать максимальным в первом). Например: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, B = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
При перемещении числа 10 из B в A поднимает среднее арифметическое элементов множества A с 7 до 7,375, множества B с 12 до ~12,333. Эффект имеет место, хотя и не столь заметен.
Увеличение происходит при выполнении обоих условий: Перемещаемый элемент меньше среднего значения элементов своего множества. Таким образом, его удаление увеличит это значение. Перемещаемый элемент больше среднего значения множества, в которое его перемещают. Отсюда следует, что его добавление повысит это значение.
В частности, феномен может иметь место только если среднее значение множества, в которое перемещают, меньше чем у того, из которого перемещают, хотя этого и недостаточно.
Парадокс является кажущимся, потому что многие люди удивлены тем, что такое может происходить. Знакомство с этими примерами должно сделать явление очевидным.
Изменение состояния Реальный пример феномена Уилла Роджерса заключается в медицинском понятии «». Суть его состоит в том, что улучшение методов диагностики рака приводит к изменению состояния части людей со «здоровый» на «больной» (у людей выявляют опухоли, которые ещё не причиняют им беспокойства).
Удаление их из множества здоровых повышает средний показатель продолжительности жизни этой группы. С другой стороны, эти люди менее больны чем те, кто уже находится в множестве больных раком, так что добавление их в это множество повышает и его среднюю продолжительность жизни.
В культуре «Новозеландцы, эмигрирующие в Австралию, повышают IQ обеих стран.» — сэр Роберт Малдун, премьер-министр Новой Зеландии на момент высказывания.
Примечания
См. также Парадокс Симпсона
Ссылки Feinstein A. R., Sosin D. M., Wells C. K. The Will Rogers phenomenon. Stage migration and new diagnostic techniques as a source of misleading statistics for survival in cancer. N Engl J Med 1985; 312:1604-8. Полный текст. PMID 4000199.
Роджерса