Уравнение Дира́ка — релятивистски инвариантное уравнение движения для биспинорного классического поля электрона, применимое также для описания других точечных фермионов со спином 1/2; установлено Полем Дираком в 1928 году.

Уравнение Дирака вместе с уравнениями Максвелла позволяет объяснить взаимодействие свободных электронов с электромагнитным полем, рассеяние света на электроне (эффект Комптона), рождение фотоном электронно-позитронной пары и т. д.Вальтер Е. Тирринг Принципы квантовой электродинамики. — М., Высшая школа, 1964. — с. 136—198 Оно значительно обобщает классические уравнения Ньютона, релятивистские классические уравнения движения частиц и уравнение ШрёдингераИваненко Д. Д. Элементарные частицы // отв. ред. Григорьян А. Т., Полак Л. С. Очерки развития основных физических идей. — М., АН СССР, 1959. — Тираж 5000 экз. — с. 437;.

За открытие этого уравнения Дирак получил Нобелевскую премию по физике 1933 годаДирак П. А. М. Воспоминания о необычайной эпохе. — М., Наука, 1990. — 208 с. — ISBN 5-02-014344-8.

Вид уравнения Уравнение Дирака записывается в виде

где  — масса электрона (или другого фермиона, описываемого уравнением),  — скорость света,  — три оператора компонент импульса (по x, y, z), ,  — постоянная Планка, x=(x, y, z) и t — пространственные координаты и время соответственно, и  — четырёхкомпонентная комплексная волновая функция (биспинор).

 — линейные операторы над пространством биспиноров, которые действуют на волновую функцию (матрицы Паули). Эти операторы подобраны так, что каждая пара таких операторов антикоммутирует, а квадрат каждого равен единице: где и индексы меняются от 0 до 3, для от 0 до 3.

В обсуждаемом представлении эти операторы являются матрицами размера 4×4 (это минимальный размер матриц, для которых выполняются условия антикоммутации), называемыми альфа-матрицами Дирака

Весь оператор в скобках в левой части уравнения называется оператором Дирака (точнее, в современной терминологии его следует называть гамильтонианом Дирака, так как оператором Дирака сейчас обычно принято называть ковариантный оператор D, с которым уравнение Дирака записывается в виде DΨ = 0, как описано в следующем замечании). В современной физике часто используется ковариантная форма записиПоскольку и форма с альфа-матрицами лоренц-ковариантна, правильнее называть форму с гамма-матрицами просто четырёхмерной (а при замене обычных производных на ковариантные она даст общековариантную запись уравнения Дирака). уравнения Дирака (подробно см. ниже):

Физический смысл

Электрон, позитрон Из уравнения Дирака следует, что электрон обладает собственным механическим моментом количества движения — спином, равным ħ/2, а также собственным магнитным моментом, равным (без учёта гиромагнитного отношения) магнетону Бора eħ/2mc, который ранее (1925) был открыт экспериментально (e и m — заряд и масса электрона, с — скорость света, ħ — постоянная Дирака, или редуцированная постоянная Планка). С помощью уравнения Дирака была получена более точная формула для уровней энергии атома водорода и водородоподобных атомов (ионов), включающая тонкую структуру уровней, а также объяснён эффект Зеемана. На основе уравнения Дирака были найдены формулы для вероятностей рассеяния фотонов свободными электронами (эффект Комптона) и излучения электрона при его торможении (тормозного излучения), получившие экспериментальное подтверждение. Однако последовательное релятивистское описание движения электрона даётся квантовой электродинамикой.

Характерная особенность уравнения Дирака — наличие среди его решений таких, которые соответствуют состояниям с отрицательными значениями энергии для свободного движения частицы (что соответствует отрицательной массе частицы). Это представляло трудность для теории, так как все механические законы для частиц в таких состояниях были бы неверными, переходы же в эти состояния в квантовой теории возможны. Действительный физический смысл переходов на уровни с отрицательной энергией выяснился в дальнейшем, когда была доказана возможность взаимопревращения частиц. Из уравнения Дирака следовало, что должна существовать новая частица (античастица по отношению к электрону) с массой электрона и электрическим зарядом противоположного знака; такая частица была действительно открыта в 1932 К. Андерсоном и названа позитроном. Это явилось огромным успехом теории электрона Дирака. Переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией и обратный переход интерпретируются как процесс образования пары электрон-позитрон и аннигиляция такой пары.

Применение для других частиц Уравнение Дирака справедливо не только для электронов, но и для других элементарных частиц со спином 1/2 (в единицах ħ) — фермионов (например, мюонов, нейтрино).

При этом хорошее соответствие опыту получается при прямом применении уравнения Дирака к простым (а не составным) частицам.

Для протона и нейтрона (составных частиц, состоящих из кварков, связанных глюонным полем, но также обладающих спином 1/2) оно при прямом применении (как к простым частицам) приводит к неправильным значениям магнитных моментов: магнитный момент «дираковского» протона «должен быть» равен ядерному магнетону eħ/2Мc (М — масса протона), а нейтрона (поскольку он не заряжен) — нулю. Опыт же даёт, что магнитный момент протона примерно в 2,8 раза больше ядерного магнетона, а магнитный момент нейтрона отрицателен и по абсолютной величине составляет около 2/3 от магнитного момента протона. Это явление получило название аномального магнитного момента протона и нейтрона.

Аномальный магнитный момент этих частиц свидетельствует об их внутренней структуре и является одним из важных экспериментальных подтверждений их кваркового строения.

В действительности данное уравнение применимо для кварков, которые также являются элементарными частицами со спином 1/2. Модифицированное уравнение Дирака можно использовать для описания протонов и нейтронов, которые не являются элементарными частицами (они состоят из кварков).

Уравнение для описания частиц со спином 0 и 1 можно получить, если в уравнении Дирака заменить матрицы Дирака матрицами Дэффина — Кеммера — Петье (кеммеровский формализм или -формализм).

Уравнение Дирака и квантовая теория поля Уравнение Дирака описывает не амплитуду вероятности для одного электрона, как могло бы показаться, а величину, связанную с плотностью заряда и тока дираковской частицы: в силу сохранения заряда сохраняется величина, которую считали полной вероятностью нахождения частицы. Таким образом, уравнение Дирака — с самого начала многочастичное.

Теория, включающая лишь уравнение Дирака, взаимодействующее с классическим внешним электромагнитным полем, не совсем верно принимает в расчёт рождение и уничтожение частиц. Она хорошо предсказывает магнитный момент электрона и тонкую структуру линий в спектре атомов. Она объясняет спин электрона, поскольку два из четырёх решений уравнения соответствуют двум спиновым состояниям электрона. Два оставшихся решения с отрицательной энергией соответствуют античастице электрона (позитрону), предсказанной Дираком исходя из его теории и почти сразу же вслед за этим открытой экспериментально.

Несмотря на эти успехи, такая теория имеет тот недостаток, что она не описывает взаимодействие квантованного электронного поля с квантованным электромагнитным полем, в том числе рождение и уничтожение частиц — один из фундаментальных процессов релятивистской теории взаимодействующих полей. Эта трудность разрешена в квантовой теории поля. В случае электронов добавляется квантованное электромагнитное поле, квантование самого электронного поля и взаимодействие этих полей, а полученная теория называется квантовой электродинамикой.

Вывод уравнения Дирака Уравнение Дирака — релятивистское обобщение уравнения Шрёдингера:

Для удобства мы будем работать в координатном представлении, в котором состояние системы задаётся волновой функцией ψ(x,t). В этом представлении уравнение Шрёдингера запишется в виде

где гамильтониан H теперь действует на волновую функцию.

Мы должны определить гамильтониан так, чтобы он описывал полную энергию системы. Рассмотрим свободный электрон (ни с чем не взаимодействующий, изолированный от всех посторонних полей). Для нерелятивистской модели мы взяли бы гамильтониан, аналогичный кинетической энергии в классической механике (не принимая во внимание в этом случае ни релятивистских поправок, ни спина):

где pj — операторы проекций импульса, а индекс j =1,2,3 обозначает декартовы координаты. Каждый такой оператор действует на волновую функцию как пространственная производная:

Чтобы описать релятивистскую частицу, мы должны найти другой гамильтониан. При этом есть основания предполагать, что оператор импульса сохраняет приведённое только что определение. Согласно релятивистскому соотношению, полная энергия системы выражается как

Это приводит к выражению

Это не вполне удовлетворительное уравнение, так как не видно явной лоренц-ковариантности (выражающей формальное равноправие времени и пространственных координат, что является одним из краеугольных камней специальной теории относительности), а кроме того — написанный корень из оператора не выписан явно. Однако возведение в квадрат левой и правой части приводит к явно лоренц-ковариантному уравнению Клейна-Гордона. Дирак предположил, что поскольку правая часть уравнения содержит первую производную по времени, то и левая часть должна иметь только производные первого порядка по пространственным координатам (иначе говоря — операторы импульса в первой степени). Тогда, полагая, что коэффициенты перед производными, какую бы природу они ни имели, — постоянные (вследствие однородности пространства), остаётся только записать:

{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"

— это и есть уравнение Дирака (для свободной частицы).

Однако мы пока не определили коэффициенты . Если верно предположение Дирака, то правая часть, возведённая в квадрат, должна дать

то есть

Просто раскрывая скобки в левой части получившегося уравнения, получаем следующие условия на α:

для всех для всех

или, сокращённо, записав всё вместе:

для

или, ещё короче, пользуясь фигурными скобками для обозначения антикоммутаторов:

для

где {,} — антикоммутатор, определяемый как {A,B} ≡ AB + BA, и δij — символ Кронекера, который принимает значение 1, если два индекса равны, и 0 в противном случае. Смотрите алгебра Клиффорда.

Поскольку такие соотношения не могут выполняться для обычных чисел (ведь числа коммутируют, а α — нет), остаётся — проще всего — предположить, что α — это некие линейные операторы или матрицы (тогда единицы и нули в правой части соотношений можно считать соответственно единичными и нулевыми оператором или матрицей), и можно попытаться найти конкретный набор α, воспользовавшись этими соотношениями (и это удаётся).

Именно здесь впервые становится совершенно ясно, что волновая функция должна быть не однокомпонентной (то есть не скалярной), а векторной, имея в виду векторы какого-то абстрактного «внутреннего» пространства, не связанного прямо с обычным физическим пространством или пространством-временем.

Матрицы должны быть эрмитовы, чтобы гамильтониан тоже был эрмитовым оператором. Наименьшая размерность матриц, которые удовлетворяют данным выше критериям, — это комплексные матрицы 4×4, хотя их конкретный выбор (или представление) не однозначен. Эти матрицы с операцией матричного умножения образуют группу. Хотя выбор представления этой группы не влияет на свойства уравнения Дирака, он влияет на физический смысл компонент волновой функции. Волновая функция же, очевидно, должна тогда быть четырёхмерным комплексным абстрактным (не связанным прямо с векторами обычного пространства-времени) векторным полем (то есть биспинорным полем).

Во введении мы привели представление, использованное Дираком. Это представление можно правильно записать как