Симплициальное множество (в ранних источниках — полусимплициальный компле́кс) — теоретико-категорная конструкция, обобщающая понятие симплициального комплекса и в определённом смысле моделирующая понятие топологического пространства с «хорошими» свойствами: теория гомотопий для симплициальных множеств эквивалентна классической теории гомотопий для топологических пространств. Является чисто алгебраической конструкцией, обеспечивающей практически полный параллелизм с геометрическими объектами; в связи с этим считается одним из важнейших объектов в алгебраической топологии как с методологической точки зрения, так и с инструментальной.
С точки зрения теории категорий определяется как из категории множеств, или, эквивалентно, как предпучок симплициальной категории в категорию множеств.
Определения и структура Симплициальное множество — контравариантный функтор из симплициальной категории в категорию множеств: .
Так как всякий морфизм симплициальной категории порождается морфизмами и (), определёнными как: , ,
то симплициальное множество может быть сконструировано как система -х слоёв , связанных соответствующими (двойственными к и ) отображениями и , удовлетворяющих соотношениям: , если , , если , . Точки слоя называются -мерными симплексами, притом точки слоя — вершинами, а слоя — рёбрами. Морфизмы называются операторами граней, а морфизмы — операторами вырождения.
Симплициальное отображение — (функторный) морфизм между симплициальными множествами , симплициальное отображение также может быть рассмотрено как совокупность слоёв , притом выполнено: (), ().
Симплициальное множество называется симплициальным подмножеством , если все слои симплициального отображения инъективны; в этом случае операторы граней и операторы вырождения в являются сужениями соответствующих операторов для .
Симплициальное фактормножество — конструкция, получаемая послойной факторизацией симплициального множества, то есть — набор слоёв , притом операторы граней и вырождения слоёв-фактормножеств индуцируются соответствующими операторами множества .
Симплициальные множества со всевозможными симплициальными отображениями между ними образуют категорию В источниках 1970-х годов используется обозначение . Также используется обозначение .
Мотивация
Примеры
Свойства Категория симплициальных множеств допускает прямые и обратные пределы, вычисляемые послойно. В частности, для любых симплициальных множеств и определены прямое произведение и прямая сумма (раздельное объединение) , притом для всех слоёв: , .
Геометрическая реализация
Косимплициальное множество Также используется двойственное понятие косимплициального множества — функтора из симплициальной категории в категорию множеств: . Косимплициальные множества имеют аналогичную послойную структуру с операторами граней и вырождения (двойственных к соответствующим операторам симплициальных множеств) и образуют категорию .
Примечания
Литература
Категория:Теория категорий Категория:Алгебраическая топология