Модель свободных электронов

Модель свободных электронов, также известная как модель Зоммерфельда или модель Друде — Зоммерфельда, — простая квантовая модель поведения валентных электронов в металле, разработанная Арнольдом Зоммерфельдом на основе классической модели Друде с учётом квантово-механической статистики Ферми — Дирака . Электроны металла рассматриваются в этой модели как идеальный ферми-газ свободных и независимых электронов.

Главное отличие модели Зоммерфельда от модели Друде состоит в применении к электронам статистики Ферми — Дирака. При изменение распределения электронов при нагревании и отклик на слабые внешние возмущения определяются преимущественно состояниями в энергетическом интервале порядка вблизи энергии Ферми. Это связано с принципом Паули: состояния с энергиями значительно ниже энергии Ферми почти полностью заполнены, поэтому переходы электронов в близлежащие уже занятые состояния невозможны.

Несмотря на свою простоту, модель позволяет описать ряд явлений и свойств металлов :

закон Видемана — Франца; температурную зависимость электронного вклада в теплоёмкость; электрическую проводимость в приближении времени релаксации; термоэлектронную эмиссию; форму плотности состояний электронов.

Основные идеи и предположения В модели Зоммерфельда валентные электроны металла считаются свободными, а действие ионных остовов заменяется усреднённым стационарным положительным фоном. Периодическим потенциалом кристаллической решётки модель пренебрегает. В реальном кристалле периодичность потенциала приводит, согласно теореме Блоха, к образованию энергетических зон, однако учёт этого эффекта относится уже к зонной теории и, в частности, к приближению почти свободных электронов, а не к собственно модели Зоммерфельда .

В модели Зоммерфельда закон дисперсии электронов задаётся параболическим законом свободной частицы . В начальном приближении теория пренебрегает электрон-электронным взаимодействием и периодическим взаимодействием электронов с ионными остовами, рассматривая электроны как идеальный газ. Для описания кинетических процессов вводится феноменологическое время релаксации; микроскопически оно связано прежде всего с рассеянием электронов на колебаниях кристаллической решётки и дефектах, а в определённых условиях — также с электрон-электронным рассеянием. Более детальное описание неравновесного распределения электронов проводится с помощью уравнения Больцмана.

Энергия и волновая функция свободного электрона

Уравнение Шрёдингера для свободного электрона имеет вид : .

Волновая функция может быть разделена на пространственную и временную части. Решением зависимого от времени уравнения будет

с энергией .

Решением пространственной, независимой от времени части будет , где  — волновой вектор, а  — нормировочный объём. Кинетическая энергия электрона задаётся уравнением .

Решением в виде плоской волны зависимого от времени уравнения Шрёдингера будет .

Физика твёрдого тела и физика конденсированных сред часто используют независимое от времени решение .

Если выйти за пределы модели свободных электронов и учесть периодический потенциал кристаллической решётки, то по теореме Блоха пространственная часть волновой функции принимает вид ,

где  — периодическая функция, а  — номер энергетической зоны. Зависимость энергии от волнового вектора при этом также изменяется и имеет вид . Для учёта периодического потенциала применяются, например, приближение почти свободных электронов и приближение сильной связи.

Энергия Ферми Принцип Паули запрещает двум электронам занимать одно и то же одноэлектронное состояние с одинаковым полным набором квантовых чисел. Для свободного электрона в рассматриваемой модели такими квантовыми числами служат волновой вектор и спин. Основное состояние электронного газа соответствует ситуации, когда заполнены все одноэлектронные состояния с наименьшей энергией до определённой энергии , которая называется энергией Ферми.

Для параболического закона дисперсии

такое заполнение означает, что при абсолютном нуле заняты все состояния с , где  — волновой вектор Ферми. Его модуль равен , где  — общее число электронов проводимости в системе, а  — полный объём.

Тогда энергия Ферми равна {|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"

Если каждый атом металла отдаёт в электронный газ валентных электронов, то , где  — число атомов (или ионных остовов) металла.

Распределение электронов по энергии При ненулевой температуре электронная подсистема металла не находится в основном состоянии, однако отклонение от него остаётся относительно небольшим, если , что обычно выполняется для металлов. Вероятность того, что одноэлектронное состояние с энергией будет занято, задаётся распределением Ферми — Дирака ,

где  — химический потенциал, часто называемый уровнем Ферми. При абсолютном нуле температуры , а при различие между и мало.

Предсказания теории Модель позволяет правильно описать ряд свойств металлов и их температурных зависимостей.

Теплоёмкость При нагревании энергия передаётся преимущественно электронам, состояния которых находятся вблизи энергии Ферми. Электроны с энергиями значительно ниже не могут легко перейти в близлежащие состояния, поскольку те с большой вероятностью уже заняты, а принцип Паули запрещает двойное заполнение одного и того же одноэлектронного состояния. Число электронов, для которых тепловое возбуждение существенно, имеет порядок . Поэтому при обычных температурах электронный вклад в теплоёмкость металла мал по сравнению с вкладом атомов кристаллической решётки.

При достаточно низких температурах электронный вклад в теплоёмкость пропорционален , тогда как в дебаевском приближении вклад кристаллической решётки пропорционален . Поэтому низкотемпературная теплоёмкость металла имеет вид , и при стремлении температуры к нулю электронный вклад становится доминирующим.

Электропроводность В приближении времени релаксации модель Зоммерфельда сохраняет форму выражения Друде для плотности электрического тока ,

где  — полная плотность электронов проводимости, а  — время релаксации. При приложении слабого электрического поля распределение электронов в пространстве волновых векторов немного смещается; изменение заполнения состояний происходит вблизи поверхности Ферми. Однако после суммирования вклада электронов проводимость по-прежнему выражается через полную плотность , а не через долю .

Важное отличие от классической интерпретации модели Друде состоит в характерной скорости электронов: для процессов переноса существенна скорость Ферми , которая значительно превышает классическую тепловую скорость электронов при обычных температурах. Поэтому длина свободного пробега оценивается как и оказывается больше классической оценки, получаемой с использованием тепловой скорости. Само время релаксации остаётся феноменологическим параметром и определяется механизмами рассеяния электронов.

Примечания

Категория:Физика конденсированного состояния