Преобразование Кэли для матриц — преобразование квадратной матрицы, сопоставляющее кососимметрической матрице ортогональную и наоборот.
Пусть в пространстве вещественных квадратных матриц I (также обозначается E) — единичная матрица, A — кососимметрическая матрица: AT = −A. Тогда, если матрица I + A обратима, преобразование Кэли
отображает кососимметричную матрицу A в ортогональную матрицу Q, то есть QTQ = I. Матричное умножение в приведённом выше определении Q коммутативно, поэтому иначе матрица Q может быть определена как .
И наоборот, пусть Q — произвольная ортогональная матрица, не имеющая −1 среди своих собственных значений. Тогда матрица
кососимметрична. Условие на матрицу Q автоматически исключает не только матрицы с определителем, равным −1, но и некоторые специальные ортогональные матрицы.
Свойства Преобразование Кэли переводит любую кососимметрическую матрицу в ортогональную, а любую ортогональную матрицу , для которой , — в кососимметрическую.
Несколько отличная формулаF. Chong (1971) «A Geometric Note on the Cayley Transform», pages 84,5 in A Spectrum of Mathematics: Essays Presented to H. G. Forder, John C. Butcher editor, Auckland University Press имеет вид
Примеры В случае 2×2 имеем
Матрица поворота на 180°, равная −I, исключена.
В случае 3×3 имеем
где K = w2 + x2 + y2 + z2, и где w = 1. В этой матрице можно узнать матрицу, отвечающую кватерниону
.
Примечания
Литература
Категория:Матрицы