Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материиПолями материи (материальными полями) в общей теории относительности традиционно называются все поля, кроме гравитационного. и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.
Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.
Компоненты тензора энергии-импульса Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:
В нём обнаруживаются следующие физические величины:
T00 — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта КазимираM. Morris, K. Thorne, and U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition , Physical Review, 61, 13, September 1988, pp. 1446—1449. T10, T20, T30 — компоненты импульса плотности, умноженные на c. T01, T02, T03 — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии Tμν соблюдается равенство: T0μ = Tμ0 Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент
есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус.
Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса имеют размерность ML−1T−2 (как у давления или плотности энергии).
Частные случаи В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.
Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице , где есть плотность массы, а — гидростатическое давление.
В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как
где — плотность массы (покоя), — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо ещё суммировать (интегрировать) по скоростям.
Канонический тензор энергии-импульса В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.
Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) , зависящего от полевых функций и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:
Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)
который имеет вид
Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму
Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора к симметризованному виду добавлением тензорной величины где тензор антисимметричен по двум последним индексам . Действительно, для симметризованного ТЭИ
автоматически следует закон сохранения
Метрический тензор энергии-импульса В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ выражается через вариационную производную по метрическому тензору в точке пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:
где Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:
где — тензор Риччи, — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде
Тензор энергии-импульса в классической электродинамике
В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:
Пространственные компоненты образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений или тензором натяжений Максвелла.
В ковариантной форме можно записать:
Тензор энергии-импульса в квантовой теории поля
В квантовой теории поля тензор энергии-импульса переходит из классической наблюдаемой в операторнозначное распределение, выступая генератором алгебры Пуанкаре в пространстве состояний и источником гравитационного поля в полуклассическом пределе. Его конструкция требует учёта процедур квантования, перенормировки и возможных квантовых аномалий.
Операторное определение и конструкция
Исходным пунктом является классическое действие , инвариантное относительно глобальных преобразований Пуанкаре . Теорема Нётер предписывает сохранение канонического тензора энергии-импульса:
Данный тензор, вообще говоря, не симметричен . Симметричный улучшенный тензор Белинфанте строится добавлением дивергенции суперпотенциала, антисимметричного по первым двум индексам:
При переходе к квантовой теории поля становятся операторами, действующими на гильбертово пространство Фока. Соответственно, ТЭИ становится операторнозначным распределением . Его определение сталкивается с проблемами, связанными с сингулярностью произведения операторов в одной точке пространства-времени. Для придания строгого смысла выражению требуется применение процедур перенормировки и, часто, нормального упорядочения.
Алгебраические свойства и генераторы симметрий
Корректно определённый оператор должен удовлетворять следующим аксиоматическим свойствам:
Симметрия: . Сохранение: Локальное сохранение выполняется на пространстве физических состояний:
Ковариантность относительно группы Пуанкаре: , где — унитарное представление группы Пуанкаре.
Пространственные интегралы от плотностей дают генераторы группы Пуанкаре: Оператор полного 4-импульса:
Оператор момента импульса:
Эти генераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре:
Перенормировка, аномалии и тождества Уорда
В квантованной теории классические симметрии могут нарушаться квантовыми эффектами . Наиболее важной является трейс-аномалия (конформная аномалия). Если классическое действие инвариантно относительно масштабных преобразований, то классический след ТЭИ обращается в ноль: . В квантовой теории это свойство нарушается. Для безмассового поля в искривлённом пространстве-времени:
где — тензор Вейля, — скалярная кривизна Эйлера (4-форма Гаусса-Бонне), а и — центральные заряды, характеризующие теорию. В плоском пространстве-времени для калибровочных теорий это упрощается до:
где — бета-функция, а — аномальная размерность массы.
Корреляционные функции, содержащие , удовлетворяют тождествам Уорда-Такахаши, которые являются квантовым аналогом теоремы Нётер. Для -точечной функции скалярных полей имеет место тождество:
где обозначает хронологическое упорядочение.
Специфика калибровочных теорий
В калибровочных теориях (КЭД, КХД) построение калибровочно-инвариантного ТЭИ является нетривиальной задачей. Калибровочная инвариантность требует модификации классического выражения. Для квантовой электродинамики (КЭД) симметричный и калибровочно-инвариантный тензор имеет вид:
где — ковариантная производная, а .
Аксиоматический подход
В рамках аксиоматического подхода Вайтмана или локальной квантовой теории поля (алгебраический подход Хаг-Кастлера) тензор энергии-импульса определяется как операторнозначное распределение, удовлетворяющее следующим условиям:
Локальность: Для любых двух пространственноподобно разделённых точек и () операторы и коммутируют:
Положительность энергии: Для любого времениподобного или светоподобного вектора плотность энергии является положительным оператором. Ковариантность: Закон преобразования относительно группы Пуанкаре.
Этот подход обеспечивает математически строгий фундамент для квантовой теории поля, свободный от проблем пертурбативного подхода. См. также Тензор кривизны Тензор Эйнштейна
Примечания
Литература
§ 32 — канонический ТЭИ § 94 — метрический ТЭИ.
Категория:Теория поля Категория:Теории гравитации Энергии-импульса