Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке функции (обычно обозначается , иногда или или ) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:
Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.
Свойства Если последовательность элементов из сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции , то при . Отсюда: — банахово пространство. Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. В не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.
Вариации и обобщения Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.
Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) называется множество всех непрерывных ограниченных функций со введённой на нём нормой:
Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:
В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность
Его пополнение есть — пространство суммируемых функций.
Литература
Категория:Функциональный анализ Категория:Топологические пространства функций