Гипотеза Эллиота — Халберстама — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота () и Хайни Халберстама ().
Пусть — число простых чисел, не превышающих . Если — натуральное число, а и — взаимно простые числа, то мы обозначим — число простых чисел, не превышающих и равных по модулю . Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что
где и взаимно просты, а — функция Эйлера.
Определим теперь функцию погрешности
где максимум берется по всем взаимно простым с
Тогда для всех и всех найдётся такая константа , что выполняется
для всех
Эта гипотеза была доказана для всех Энрико Бомбиери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке
Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает; см. также , ., что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии истинности обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6http://arxiv.org/abs/1407.4897 and http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf ..
Литература
Примечания
Эллиота — Халберстама Категория:Аналитическая теория чисел