Суммы Вейля — общее название тригонометрических сумм специального вида.
Определение Суммами Вейля называются суммы вида
,
где , а функция
есть многочлен степени с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.
Рациональные суммы Вейля Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю ) называются суммы Вейля с функцией :
,
где — некоторое фиксированное целое число, , а
есть многочлен степени с целыми коэффициентами.
Примеры рациональных сумм Вейля Если , то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой. Если — простое число, то суммы Вейля с многочленом называются суммами Гаусса порядка , а при — суммами Гаусса. Если — простое число, то для каждого , не кратного , в поле вычетов всегда существует число , обратное к :
, и при этом .
Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом могут быть записаны в виде
,
(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем , не кратным ) и называются суммами Клостермана.
Оценки сумм Вейля Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.
См. также
Теорема Вейля о равномерном распределении
Литература Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987. И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.
Категория:Теория чисел