Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.
Определения Подгруппа группы называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента из и любого из элемент лежит в :
Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:
Для любого из . Для любого из . Множества левых и правых смежных классов в совпадают. Для любого из . является объединением классов сопряжённых элементов. Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.
Примеры и — всегда нормальные подгруппы . Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа называется простой.
Центр группы — нормальная подгруппа.
Коммутант группы — нормальная подгруппа.
Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.
Все подгруппы абелевой группы нормальны, так как . Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.
Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.
В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.
Свойства Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах и взятии обратных образов. Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа. Нормальность сохраняется при построении прямого произведения. Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна. Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если — наименьший простой делитель порядка , то любая подгруппа индекса нормальна. Если — нормальная подгруппа в , то на множестве левых (правых) смежных классов можно ввести групповую структуру по правилу
Полученное множество называется факторгруппой по . нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах . Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной.
Исторические факты Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.
Ссылки Винберг Э. Б. Курс алгебры — :Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
Категория:Свойства подгрупп