Магический шестиугольник или магический гексагон порядка — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе
Порядок n = 1 Порядок n = 3
Обычный магический шестиугольник может быть только порядка (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или и может содержать числа от единицы до Более того, если не считать зеркальных, существует только один магический шестиугольник порядка
Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, вероятно, является Эрнст фон Хасельберг (нем. Ernst von Haselberg) в 1887 году.
Доказательство единственности
Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка и
Вычислим магическую константу С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелограмма). То есть, сумма всех чисел в гексагоне
С другой стороны, есть рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна то во всём шестиугольнике будет
Приравняв суммы, получим, что
Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число.
Значит, — это целое число, что возможно только при и
QED.
Аномальные магические шестиугольники
Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.
Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.
<small> 14 33 30 34 39 6 24 20 22 37 13 11 8 25 17 21 23 7 9 3 10 38 36 4 5 12 28 26 35 16 18 27 15 19 31 29 32 <small> 41 51 63 45 44 64 25 40 46 35 34 23 20 10 56 27 42 66 55 38 19 9 6 22 48 47 61 58 18 11 8 7 13 15 53 52 37 14 16 30 12 24 59 57 32 29 21 17 39 49 31 36 62 28 54 33 43 26 60 65 50 <small> 56 61 70 67 51 55 45 36 48 53 68 74 37 26 29 27 39 73 62 42 33 19 16 31 38 6458 57 22 20 15 18 23 43 49 63 47 28 21 17 30 34 65 71 35 24 32 25 46 72 59 44 40 41 52 69 54 60 75 66 50 Порядок 4Начинается с и кончается Порядок 5Начинается с и кончается . Порядок 5Начинается с и кончается .
Магический гексагон порядка , начинающийся с и кончающийся () был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.
Гексагон порядка , начинающийся с 2 и кончающийся 128 () был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.
Наибольший из известных на данный момент гексагон порядка , начинающийся с −84 и кончающийся 84 () был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.
См. также Магический и супермагический квадрат Магический куб Чисугвимундо
Примечания
Литература Baker. J. E. and King, D. R. (2004) «The use of visual schema to find properties of a hexagon» Visual Mathematics, Volume 5, Number 3 Baker, J. E. and Baker, A. J. (2004) «The hexagon, nature’s choice» Archimedes, Volume 4
Категория:Магические квадраты Категория:Теория чисел