Тензор кривизны Вейля — часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием, что построенный по нему тензор Риччи равен нулю.
Назван в честь Германа Вейля.
Определение Тензор Вейля можно получить из тензора кривизны, если вычесть из него определённые комбинации тензора Риччи и скалярной кривизны. Формула для тензора Вейля легче всего записывается через тензор Римана в форме тензора валентности (0,4):
где n — размерность многообразия, g — метрика, R — тензор Римана, Ric — тензор Риччи, s — скалярная кривизна, а h O k — так называемое произведение Кулкарни — Номидзу, произведение двух симметричных тензоров валентности (0,2) есть тензор валентности (0,4), удовлетворяющий симметриям тензора кривизны:
В компонентах, тензор Вейля задаётся выражением:
где — тензор Римана, — тензор Риччи, — скалярная кривизна и [] обозначает операцию антисимметризации.
Свойства Тензор Вейля может иметь нетривиальную форму только в пространствах с размерностью не меньше четырёх. В двумерном и трёхмерном пространствах тензоры Вейля тождественно равны нулю.
Тензор Вейля остаётся инвариантным при конформных преобразованиях метрики. То есть, если для данной метрики g ввести новую метрику при помощи некоторой функции , то (1,3)-валентный тензор Вейля не изменяется: . По этой причине тензор Вейля ещё называют конформным тензором. Из этого свойства следует, что для того, чтобы многообразие было конформно евклидовым, необходимо чтобы его тензор Вейля равнялся нулю. Для размерностей ≥ 4 это условие оказывается также и достаточным. Для пространств размерности 3 необходимым и достаточным условием конформной евклидовости является равенство нулю тензора Коттона.
См. также Кривизна римановых многообразий Конформное отображение Символы Кристоффеля Общая теория относительности Тензор Баха Тензор Шутена
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Общая теория относительности Категория:Тензоры в ОТО