Те́нзор (от , «напряжённый») — применяемый в математике и физике математический объект (линейный алгебраический объект), заданный на векторном пространстве конечной размерности. В каждом базисе (системе координат) этого пространства тензор можно представить как упорядоченный набор компонент (чисел), структурируемых в виде -мерного массива (размерность ), где -размерность пространства, а — ранг (валентность) тензора. При смене базиса компоненты тензора в общем случае (кроме ранга 0) меняются определенным (тензорным) образом, однако, тензор, как алгебраический и геометрический объект, от базиса (системы координат) не зависит — одному и тому же тензору соответствуют разные наборы компонент в разных базисах. В том числе тензоры обладают т. н. инвариантами — определенными функциями от компонент, которые остаются неизменными при смене базиса (например, след тензора).
Тензоры обознаются как многоиндексные объекты с применением верхних (контравариантных) и нижних (ковариантных) индексов, где общее число индексов равно рангу тензора: . Пара чисел , то есть число верхних и нижних индексов, определяет тип тензора (контравариантный и ковариантный ранги тензора, говорят раз контравариантный и раз ковариантный тензор), от которых зависит характер пересчета компонент при смене базиса пространства. Примеры тензоров ранга:
0: скаляры (числа), не имеют индекса и не изменяются при смене базиса; 1: векторы (тензоры типа (1,0), контравариантные тензоры) записываются с одним верхним индексом (вектор-столбец); линейные функционалы или ковекторы (тензоры типа (0,1), ковариантные тензоры) — с одним нижним индексом (вектор-строка); 2: линейные операторы или аффинорыТензорное исчисление // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 579 (тензоры типа (1,1) — с нижним и верхним индексами: , билинейные формы (тензоры типа (0,2), дважды ковариантные тензоры) — с двумя нижними индексами ; диады — тензоры типа ; компоненты тензоров 2 ранга представляются в виде квадратных матриц размерности ; 4: например, тензор типа будет записан как (тензор кривизны Римана).
По существу, тензоры типа на пространстве — это векторы другого пространства (обозначаемого или — см. ниже определение через тензорное произведение), полилинейно связанного с , а компоненты тензора — это координаты этого вектора в в базисе, «привязанном» к базису пространства . При замене базиса в также меняется базис в и координаты тензора, как вектора этого пространства. Поэтому говорят о координатном представлении тензора в базисе пространства .
В физике тензоры рассматриваются для физического трехмерного пространства или четырёхмерного пространства времени, а компонентами тензора являются координаты (проекции) взаимосвязанных физических величин. Использование тензоров в физике позволяет глубже понять физические законы и уравнения, упростить их запись за счёт сведения многих связанных физических величин в один тензор, а также записывать уравнения в форме, не зависящей от выбранной системы отсчёта. Часто в физике, а также в дифференциальной топологии и геометрии, тензором называют также так называемые тензорные поля, которые, упрощенно говоря, сопоставляют различным точкам пространства (многообразия) разные тензоры (например, метрический тензор; тензор напряжений внутри объекта, см. иллюстрацию), то есть тензорозначные функции точек пространства/многообразия (более корректное определение таких тензоров предполагает введение таких понятий как касательное пространство, касательное расслоение и т. д.). Изменчивость такого тензора (тензорного поля) от точки к точке не связана со сменой системы координат.
Тензоры были популяризованы в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, которые продолжили более ранние работы Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля. Слово «тензор» придумал немецкий физик В. Фогт в 1898 годуWoldemar Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [The fundamental physical properties of crystals in an elementary presentation] (Leipzig, Germany: Veit & Co., 1898), p. 20. From page 20: «Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie charakteristischen physikalischen Grössen aber Tensoren nennen.» (We therefore want [our presentation] to be based only on [the assumption that] conditions of the type described occur during stresses and strains of non-rigid bodies, and therefore call them «tensorial» but call the characteristic physical quantities for them «tensors».). Понятие возникло в связи с вопросом, какие напряжения возникают в неровном (произвольной формы) теле, к которому прикладывается линейная сила; ответ потребовал введения сложного математического объекта для каждой рассматриваемой точки неровного тела — некоего набора величин, не меняющихся при изменении точки отсчёта.
Происхождение названия Слово «тензор» происходит от латинского , что означает «натягивать», «растягивать», «напрягать». В анатомии и физиологии есть мышцы-тензоры (например, tensor tympani — мышца, натягивающая барабанную перепонку). В инженерии и физике термин «тензор» изначально использовался для описания напряжения в материалах. Для описания этих сил во множестве точек деформируемого тела появилась надобность в математическом аппарате, который и стал называться тензорным.
Предварительные сведения
Правило Эйнштейна Здесь и далее по тексту статьи в основном будет использоваться общепринятое соглашение — так называемое правило Эйнштейна, в соответствии с которым, если в записи присутствуют верхний и нижний индексы, обозначенные одинаковой буквой (так называемый «немой» индекс), то по нему предполагается суммирование. Например, запись означает то же, что и . Это позволяет упростить записи формул за счёт того, что не указываются знаки суммирования. По индексам, обозначенным разными буквами, суммирования не предполагается. Немой индекс в результате «исчезает», а остальные индексы остаются, например: или . См. также подраздел настоящей статьи, посвящённый операции свёртки.
Контравариантность векторов Пусть набор векторов является базисом в векторном пространстве . Тогда любой вектор этого пространства в данном базисе представляется как линейная комбинация базисных векторов: . Набор (упорядоченный) чисел (вектор-столбец) называют координатами или компонентами вектора в данном базисе или координатным представлением вектора.
Рассмотрим другой набор векторов , также являющийся базисом. Каждый из векторов нового базиса может быть представлен в «старом» базисе (как и любой вектор): , то есть координатами . Соответственно, матрица , столбцы которой представляют координаты нового базиса в старом — это матрица преобразования старого базиса в новый. Обратная матрица позволяет получить старый базис из нового. Кроме этого, именно с помощью обратной матрицы можно получить координатное представление произвольного вектора в новом базисе. В самом деле, , то есть новые координаты (в новом базисе) равны (в матрично-векторной форме это записывается как ). То есть координаты вектора преобразовываются обратно базису. Это свойство преобразования координат называется контравариантность.
Ковариантность линейных функционалов Если координаты какого-либо объекта будут преобразовываться как базис, то есть с помощью матрицы преобразования базиса, то это называется ковариантность. Примером ковариантного объекта являются так называемые ковекторы — линейные функционалы (линейные формы) на пространстве . В силу линейности множество всех таких функционалов также образует векторное пространство , называемое сопряжённым к и имеющее ту же размерность, что и . Таким образом, линейные функционалы (формы) — это векторы сопряжённого пространства. Ковекторами (ковариантными тензорами ранга 1) они становятся в силу привязки к основному пространству , а именно специфическим выбором базиса сопряжённого пространства, однозначно определяемого базисом пространства . В заданном базисе пространства произвольная линейная форма равна . Координаты вектора можно трактовать как тоже линейные функции, которые ставят в соответствие каждому вектору — его соответствующую координату: . Эти линейные функционалы являются базисом в сопряжённом пространстве и называются дуальным (или двойственным) базисом (к базису основного пространства). Соответственно, произвольная линейная форма представляется в виде: , то есть тоже как набор координат (они записываются как вектор-строка, в отличие от вектора-столбца координат векторов основного пространства).
В новом базисе имеем: , где — координаты линейной формы в новом дуальном базисе . Они преобразуются с помощью той же матрицы перехода от старого базиса пространства к новому . Это можно пояснить и без формул: линейный функционал — вектор в пространстве , поэтому при смене базиса в нём, его координаты меняются обратно своему базису, но этот дуальный базис меняется в свою очередь обратно изменению базиса в пространстве (так как это координаты векторов по сути). В итоге координаты линейной функции преобразовываются так же, как и базис основного пространства. Поэтому они называются ковекторами по отношению к основному пространству.
Замечания В случае ортонормированных базисов обратная матрица преобразования базиса равна просто транспонированной: , поэтому , то есть, если координаты линейной формы записать не в виде вектор-строки, а в виде вектора-столбца, то правило преобразования координат линейной формы не будет отличаться от правила преобразования вектора. Таким образом, при переходах между ортонормированными базисами (повороты или изменения ориентации базиса) ковариантное преобразование не отличается от контравариантного. В пространствах с (псевдо)скалярным произведением пространство канонически изоморфно пространству , то есть их можно отождествить (каждый линейный функционал представляется в виде скалярного произведения фиксированного вектора на вектор-аргумент функции , то есть , соответственно, между и имеется взаимно однозначное соответствие). Поэтому вектор и ковектор по существу можно считать одним объектом. В связи с этим считается, что один и тот же вектор (в общем случае и тензор) можно просто представить как в контравариантных координатах, так и в ковариантных. Так часто поступают, например, в физике, где тензоры обычно рассматриваются либо в геометрическом трёхмерном пространстве, либо в четырёхмерном пространстве-времени.
Примеры пересчёта координат при замене базиса
Определения Существует несколько по существу эквивалентных определений тензоров. Их эквивалентность связана с тем, что между множествами объектов (включая и тензорные операции и отношения между ними), порождаемых этими определениями, можно установить взаимно-однозначное соответствие (говорят пространства этих объектов изоморфны друг другу).
Тензор как набор компонент (многоиндексный объект)
Общее определение. Правило преобразования координат Тензором типа на векторном пространстве (размерности ) называется объект, задаваемый в произвольном базисе набором чисел (каждый из индексов может принимать значения от 1 до ), которые при переходе к другому базису изменяются по следующему закону (применяется правило Эйнштейна, то есть предполагается суммирование по всевозможным значениям индексов):
то есть раз с помощью матрицы, обратной к матрице преобразования базиса, и раз с помощью матрицы преобразования базиса. Другими словами, в рамках данного определения тензор — это массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса.
Число называют валентностью или рангом тензора, — контравариантной валентностью, — ковариантной валентностью. Говорят также раз контравариантный и раз ковариантный тензор. Число компонент тензора (набор чисел, которым представляется тензор в данном базисе) равно .