Сринива́са Рамануджа́н Айенго́р (; ; ; 22 декабря 1887 — 26 апреля 1920) — индийский математик, математический гений.

Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. Наиболее значительна его работа совместно с Годфри Харди по асимптотике числа разбиений p(n).

Биография Рамануджан родился 22 декабря 1887 года в городе Ироду, Мадрасское президентство, на юге Индии, в тамильской семье. Отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасского президентства. Мать была глубоко религиозна. Рамануджан воспитывался в строгих традициях замкнутой касты брахманов. В 1889 году он перенёс оспу, но сумел выжить и выздороветь.

В школе проявились его незаурядные способности к математике, и знакомый студент из города Мадраса дал ему книги по тригонометрии. В 14 лет Рамануджан открыл формулу Эйлера и был очень расстроен, узнав, что она уже опубликована. В 16 лет в его руки попало двухтомное сочинение математика Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до этого (впоследствии, благодаря связи с именем Рамануджана, эта книга была подвергнута тщательному анализу). В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений. Юноша, не имевший ни доступа в вуз, ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определённый способ мышления, своеобразный стиль доказательств. В этот период и определилась математическая судьба Рамануджана. Среди покровителей Рамануджана на этом поприще были его начальник сэр Фрэнсис Спринг, его коллега и будущий секретарь Индийского математического общества .

В январе 1913 года Рамануджан написал письмо известному профессору Кембриджского университета Годфри Харди. В письме Рамануджан сообщал, что он не оканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживлённая переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, неизвестных науке того времени. По настоянию Харди Рамануджан приехал в Кембридж. Там он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным таких почестей. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег.

В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана». Многие математики (как современники Рамануджана, так и наши современники) считают Рамануджана гением, опередившим развитие науки на много десятилетий.

По семейным обстоятельствам Рамануджан вернулся в Индию, где и умер 26 апреля 1920 года. Причиной ранней (в 32 года) смерти мог быть туберкулёз, усугублённый последствиями недоедания, истощения и стресса. В 1994 году предположили, что у Рамануджана мог быть амёбиаз.

Научные интересы и результаты Сфера его математических интересов была очень широка. Это магические квадраты, квадратура круга, бесконечные ряды, гладкие числа, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определённые интегралы, эллиптические и модулярные функции.

Он нашёл несколько частных решений уравнения Эйлера (см. задача о четырёх кубах), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современными математиками Рамануджан считается крупнейшим знатоком цепных дробей в мире. Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение на :

Математикам хорошо известна формула вычисления числа , полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора:

Уже при суммировании первых 100 элементов () этого ряда достигается точность в шестьсот верных значащих цифр.

Примеры бесконечных сумм, найденных Рамануджаном: .

Эти удивительные формулы — одни из предложенных им в первом письме к Харди. Доказательства этих равенств нетривиальны.

Другие формулы Рамануджана не менее изящны:

Рамануджан предложил следующее доказательство. Заметим, что , , . Тогда

Объединяя первые три равенства, получаем . Если продолжать процесс подстановки выражений вида бесконечно, то получится формула Рамануджана. . Позже было замечено, что это доказательство Рамануджана является неполным. Такую подстановку нельзя делать бесконечное число раз. В противном случае можно было бы предложить и другие решения. Например,

При этом, действительно, последовательность

имеет предел, равный 3.

Доказательство Рамануджана даёт только верхнюю оценку, показывая, что для любого (конечного) . Таким образом последовательность ограничена сверху. Легко проверить, что последовательность возрастает. Поэтому по теореме Вейерштрасса последовательность имеет конечный предел . Осталось показать, что он действительно равен 3. Следуя определению предела последовательности, покажем, что для любого существует такое число , что для всех . Пусть , где Теперь покажем, что . Внесём под корни . Заметим, что для любого . Следовательно, существует такое натуральное число , что для всех , так как при . Таким образом, для всех выполняется .

, где

Следующая формула верна для :

Признание и оценки

Харди остроумно прокомментировал результаты, сообщённые ему Рамануджаном: «Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их». Его формулы иногда всплывают в современнейших разделах науки, о которых в его время никто даже не догадывался.

Сам Рамануджан говорил, что формулы являлись ему во сне и внушались в молитве (в индуизме: в мантра-йоге, медитации)Цитата из фильма «Человек, который познал бесконечность» () на временной шкале фильма: 1 час 25 минут. богиней Намагири Тхайяр (Махалакшми) (), почитаемой в Намаккале ().

Чтобы сохранить наследие этого удивительного, ни на кого не похожего математика, в 1957 году Институт фундаментальных исследований Тата издал двухтомник с фотокопиями его черновиков.

Наука ничего не выиграла от того, что отверг единственного большого учёного, которого он имел, и потеря была неизмеримой. Судьба Рамануджана — худший известный мне пример вреда, который может быть причинён малоэффективной и негибкой системой образования. Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими настоящие знания и немного воображения, и мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков…

Понятия, связанные с именем Рамануджана

Именем Рамануджана названы математические объекты и утверждения, учебные учреждения, журналы и премии. В частности: Гипотеза Рамануджана Суммы Рамануджана Функция Рамануджана Константа Ландау — Рамануджана Число Рамануджана — Харди Тождество Роджерса — Рамануджана Теорема Харди — Рамануджана Тождество Доугалла — Рамануджана Граф Рамануджана Премия SASTRA Ramanujan

В кинематографе Математик-самоучка Рамануджан — главный герой следующих художественных фильмов: «» (2014) производства Индии; «Человек, который познал бесконечность» (2015) производства Великобритании, по одноимённой биографии Роберта Канигела. Амита Рамануджан, героиня сериала «4исла», названная в честь математика. «Умница Уилл Хантинг» (1997) производства США. Упоминается в диалоге профессора математики Джеральда Лембо и психолога Шона.

Примечания

Литература The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan, 1991, Robert Kanigel

(альтернативная ссылка)

Список литературы о Рамануджане в рунете George E. Andrews, Bruce C. Berndt Ramanujan’s Lost Notebook: Part I, II, III, IV , 2008, , 2012, , 2013, )

Категория:Умершие от туберкулёза

Категория:Учёные-самоучки Категория:Выпускники Мадрасского университета