Теорема Мермина — Вагнера (теорема Мермина — Вагнера — Хоенберга, теорема Коулмана) — утверждение в квантовой теории поля и статистической механике, согласно которому непрерывные симметрии не могут спонтанно нарушаться при конечной температуре в системах с достаточно короткодействующими взаимодействиями при размерности . Интуитивно это означает, что дальнодействующие флуктуации могут создаваться с малыми затратами энергии и поскольку они увеличивают энтропию, то являются предпочтительными.
Отсутствие спонтанного нарушения симметрии при было строго доказано Коулманом в квантовой теории поля в 1973 году и Дэвидом Мермином, Гербертом Вагнером и Пьером Хоэнбергом в статистической физике.
Показательный пример неприменимости данной теоремы к дискретным симметриям — модели Изинга.
Исторический контекст Долгое время считалось интуитивно очевидным, что в одномерных и двумерных системах дальний порядок, характерный для ферромагнетиков или кристаллов, не может существовать при ненулевой температуре. Причиной этого являются сильные флуктуации, которые в низких размерностях подавляют упорядочение. Однако строгое математическое доказательство этого факта было получено лишь в середине XX века.
В 1966 году Дэвид Мермин и Герберт Вагнер доказали отсутствие ферро- и антиферромагнетизма в одно- и двумерных изотропных моделях Гейзенберга. Практически одновременно Пьер Хоэнберг (1967) доказал отсутствие дальнего порядка в одно- и двумерных бозе-системах. В квантовой теории поля аналогичный результат для двумерных пространств-времён был получен Сидни Коулманом в 1973 году, который показал отсутствие голдстоуновских бозонов в двух измерениях, что эквивалентно запрету на спонтанное нарушение непрерывных симметрий.
Физическая интуиция Ключевая идея, лежащая в основе теоремы, связана с поведением длинноволновых флуктуаций. В системах с непрерывной симметрией (например, с O(n)-симметрией) существуют безмассовые возбуждения — голдстоуновские моды. В размерностях эти моды создают настолько сильные флуктуации, что среднее значение параметра порядка (например, намагниченности) обращается в нуль при любой ненулевой температуре.
Математически это проявляется в том, что корреляционная функция флуктуаций параметра порядка в расходится на больших расстояниях, что делает невозможным существование ненулевого среднего. Для сравнения, в трёхмерном случае (d=3) такие флуктуации конечны, что допускает существование фазового перехода и спонтанного нарушения симметрии.
Строгая формулировка В статистической физике теорема обычно формулируется для систем с гамильтонианом, инвариантным относительно непрерывной группы преобразований (например, вращений в пространстве спинов) и с короткодействующим взаимодействием (убывающим быстрее, чем на больших расстояниях). Тогда при и конечной температуре:
Невозможно существование дальнего порядка, то есть , где — параметр порядка, преобразующийся нетривиально относительно группы симметрии. Корреляционная функция убывает на больших расстояниях по степенному закону или быстрее, но не стремится к ненулевому пределу.
В квантовой теории поля теорема Коулмана утверждает, что в двумерном пространстве-времени (1+1 измерения) не может существовать спонтанного нарушения непрерывной симметрии, так как соответствующие голдстоуновские бозоны привели бы к логарифмически расходящейся корреляционной функции, что делает вакуумное среднее параметра порядка равным нулю.
Исключения и связанные результаты Теорема накладывает ограничения только на непрерывные симметрии. Для дискретных симметрий (например, симметрии в модели Изинга) спонтанное нарушение возможно и в двух измерениях. Двумерная модель Изинга является классическим примером системы с фазовым переходом второго рода и ненулевой намагниченностью при низких температурах.
Кроме того, теорема не исключает существования квазидальнего порядка, который проявляется в виде степенного убывания корреляционных функций, характерного для перехода Березинского — Костерлица — Таулесса (BKT-перехода). Такой переход наблюдается в двумерной XY-модели (модели с O(2)-симметрией), где вихревые возбуждения играют ключевую роль, и хотя истинный дальний порядок отсутствует, существует фаза с квазидальним порядком и бесконечной восприимчивостью.
Значение Теорема Мермина — Вагнера имеет принципиальное значение для физики низкоразмерных систем. Она объясняет, почему в реальных двумерных магнетиках (например, в слоистых материалах) дальний магнитный порядок наблюдается только при наличии слабой анизотропии или межслоевого взаимодействия, которые эффективно повышают размерность системы или превращают непрерывную симметрию в дискретную.
Теорема также служит важным критерием при построении теоретических моделей: любая теория, предсказывающая спонтанное нарушение непрерывной симметрии в (1+1)-мерном пространстве-времени или в двумерной статистической системе, либо требует специального рассмотрения бесконечного объёма, либо указывает на наличие дальнодействующих взаимодействий или анизотропии.
Примечания
Литература
Категория:Квантовая теория поля Мермина — Вагнера