Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядкаShapiro (1991) and Hinman (2005) give complete introductions to the subject, with full definitions. возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами и функциональными символами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.
Язык и синтаксис Формальные языки логики второго порядка строятся на основе множества функциональных символов и множества предикатных символов . С каждым функциональным и предикатным символом связана арность (число аргументов). Также используются дополнительные символы
Символы индивидуальных переменных, обычно и т. д. Символы функциональных переменных и т. д. Каждой функциональной переменной соответствует некоторое положительное число — арность функции. Символы предикатных переменных и т. д. Каждой предикатной переменной соответствует некоторое положительное число — арность предиката. Пропозициональные связи: , Кванторы общности и существования , Служебные символы: скобки и запятая.
Перечисленные символы вместе с символами и образуют алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно.
Терм — это символ индивидуальной переменной, либо выражение, которое имеет вид , где — функциональный символ арности , а — термы либо выражение вида , где — функциональная переменная арности , а — термы. Атом — имеет вид , где — предикатный символ арности , а — термы или , где — предикатная переменная арности , а — термы. Формула — это или атом, или одна из следующих конструкций: , где — формулы, а — индивидуальная, функциональная и предикатная переменные. (Конструкции являются формулами второго и не первого порядка).
Аксиоматика и доказательство формул
Семантика В классической логике интерпретация формул логики второго порядка задаётся на модели второго порядка, которая определяется следующими данными.
Базовое множество , Семантическая функция , которая отображает каждый -арный функциональный символ из в -арную функцию , каждый -арный предикатный символ из в -арное отношение .
Свойства В отличие от логики первого порядка, логика второго порядка не имеет свойств полноты и компактности. Также в этой логике является неверным утверждение теоремы Лёвенгейма — Скулема.
Примечания
Литература Henkin, L. (1950). «Completeness in the theory of types». Journal of Symbolic Logic 15 (2): 81-91. Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0. Shapiro, S. (2000). Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-825029-0. Rossberg, M. (2004). «First-Order Logic, Second-Order Logic, and Completeness». in V. Hendricks et al., eds.. First-order logic revisited. Berlin: Logos-Verlag. Vaananen, J. (2001). «Second-Order Logic and Foundations of Mathematics». Bulletin of Symbolic Logic 7 (4): 504—520.
Категория:Математическая логика