В математике an называется иррациональной последовательностью, если она обладает свойством, что для любой последовательности xn положительных целых чисел сумма последовательности
существует и является иррациональным числом. Задача описания иррациональных последовательностей поставлена Палом Эрдёшем и , которые первоначально называли свойство быть иррациональной последовательностью «Свойством P».
Примеры образуют иррациональную последовательность. Тем не менее, хотя последовательность Сильвестра , … (в которой каждый член на единицу больше произведения всех предыдущих членов) также растёт со скоростью , она не образует иррациональную последовательность. Если положить , получим
которая сходится к рациональному числу. Подобным же образом факториалы не образуют иррациональную последовательность, поскольку последовательность приводит к последовательности с рациональной суммой .
Скорость роста Любая последовательность an, которая растёт со скоростью, такой что
является иррациональной последовательностью. Сюда входят последовательности, которые растут быстрее двойной экспоненты, как и некоторые двойные экспоненциальные последовательности растущие быстрее, чем степень степени двух.
Любая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро, так что
Однако не известно, существует ли такая последовательность, в которой НОД любой пары множителей равен 1 (в отличие от степени степени двух) и для которой .
Связанные свойства По аналогии с иррациональными последовательностями, Ханчл определил трансцендентные последовательности как последовательности целых чисел an, такие, что для любой последовательности xn положительных целых чисел сумма последовательности
существует и является трансцендентным числом.
Примечания
Категория:Целочисленные последовательности Категория:Иррациональные числа Категория:Теория чисел