Kovariančná matica (iné názvy: kovariantná matica,variančná matica, variantná matica, variančno-kovariančná matica) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu medzi i-tym a j-tym prvkom náhodného vektora.
Definícia Majme p-rozmerný náhodný vektor . Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných , kde , platí, že sú konečné, teda: . Potom symetrická matica rozmeru , ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu prvkov a , teda číslo , pre , sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora .
Predchádzajúcu definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora označíme symbolom , teda:
Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí:
Matica bude potom vyzerať nasledovne:
Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:
Označenie Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma (príp. ) alebo .
Vlastnosti Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:
a
Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných .
Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:
Majme maticu , ktorá má rozmery a k-rozmerný náhodný vektor . Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora definovaného nasledovným vzťahom:
platí, že:
Literatúra
Kategória:Matice Kategória:Analýza dát