Projekčná matica (alebo skrátene tiež projektor) je v lineárnej algebre a matematickej analýze lineárne zobrazenie (lineárny operátor) , ktoré je symetrické a idempotentné. Ide o štvorcovú maticu rozmeru . Tieto matice majú okrem lineárnej algebry veľký význam napríklad aj v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike, pretože vďaka nim vieme vyjadrovať projekcie vektorov na rôzne lineárne podpriestory.
Definícia Majme lineárny podpriestor . Maticu nazývame projektorom (projekčnou maticou) na tento lineárny podpriestor práve vtedy, ak sú splnené nasledovné podmienky:
Matica je symetrická, teda: Matica je idempotentná, teda: Projekčná matica zobrazí každý vektor do daného lineárneho podpriestoru, teda: : Každý prvok, ktorý už leží v danom podpriestore zobrazí projekčná matica na ten istý prvok, teda:
Ďalšie vlastnosti Uvažujme projektor definovaný v definícii vyššie. Ak preň platí ešte nasledovná podmienka:
tak hovoríme, že daný projektor je ortogonálny vzhľadom na uvedený skalárny súčin.
Pokiaľ máme maticu , ktorá je typu , pričom jej hodnosť je , tak potom matica určená nasledovným vzťahom:
je ortogonálny projektor na podpriestor , ktorý je generovaný lineárne nezávislými stĺpcami matice , a na ktorom je definovaný skalárny súčin .
Literatúra
Kategória:Teória matíc