Herónov vzorec je vzorec na výpočet obsahu všeobecného trojuholníka (v euklidovskej rovine), pomocou dĺžok jeho strán.
Vzorec Ak sú dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah , kde je polovičný obvod trojuholníka.
Dôkaz Súbor:Heronuv_vzorec_small.png
Označme vzdialenosť vrcholu od päty kolmice z vrcholu na stranu (výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:
Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:
Z tohto vzťahu vyjadríme :
Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto dáva (viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme , získame výšku :
Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka , dostaneme:
Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:
Dosadíme polovičný obvod , a dostávame výsledný vzorec:
História Vzorec bol formulovaný Herónom z Alexandrie a dôkaz bol publikovaný v jeho knihe Métrika, napísanej v roku 60 pred Kr.http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
Poznámky Kratší dôkaz je možný pomocou kosínusovej vety. Obsah trojuholníka je symetrická kvadraticky homogénna funkcia jeho strán.
Referencie
Pozri aj Trojuholník Obsah Tetivový štvoruholník
Iné projekty
Externé odkazy Dôkaz Herónoveho vzorca Herónov vzorec
Zdroj
Kategória:Matematické vety Kategória:Trojuholník Kategória:Eponymické termíny v matematike