Vektorový podpriestor alebo lineárny podpriestor je v lineárnej algebre taká podmnožina iného vektorového priestoru, ktorá sama tvorí vektorový priestor.
Definícia Nech je vektorový priestor a nech je neprázdna podmnožina množiny . Potom nazývame podpriestor vektorového priestoru , ak spolu s operáciami tvorí vektorový priestor nad poľom .
Veta Nech je vektorový priestor a nech je neprázdna podmnožina množiny .Potom je podpriestor práve vtedy, keď pre všetky a platí a) b)
Veta 1 Podpriestory , majú neprázdny prienik práve vtedy, ak existujú vektory a také, že platí
Špeciálny prípad vety 1. Priamky a majú neprázdny prienik práve vtedy, keď vektor A-B je lineárnou kombináciou
Dôkaz ,
Dôkaz vety 1 urobíme analogicky.
Veta 2 Ak a sú podpriestory s neprázdnym prienikom, tak ich prienik je afinný podpriestor so zameraním .
Dôkaz Vetu 2 dokážeme tak, že ukážeme, že body a vektory z prieniku spĺňajú nasledujúce podmienky: a) Ak body a patria do , tak vektor patrí do . b) Ak bod patrí do a patrí do , tak bod patrí do .
Toto je však triviálne, lebo ak bod aj , tak pričom analogické tvrdenie platí pre vektory.
Veta 3 Podpriestory a sú rovnobežné alebo rôznobežné, pričom ich prienik je (r − 1)-rozmerný podpriestor.
Náznak dôkazu Môžeme predpokladať, že podpriestory nie sú rovnobežné (t. j. ), pretože v opačnom prípade je už splnené tvrdenie vety. Z tohto predpokladu vyplýva, že existuje vektor a súčasne . Bez ujmy na všeobecnosti, môžeme vytvoriť bázu tak, aby . Nech . je bázou . (Z predpokladu vyplýva, že každý z vektorov je lineárnou kombináciou vektorov . Pretože je báza pomocou nich je možné vyjadriť aj vektor (A − B). Podľa vety 1. podpriestory a sú rôznobežné.
Dôsledky vety 3 Z vety 3 vyplýva hneď niekoľko dôsledkov a síce: Dve priamky v nemôžu mať práve dva spoločné body. Dve priamky v sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod. Rovina a priamka v sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod. Dve roviny v sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke. A mnohé ďalšie.
Literatúra M. Lavička: KMA/G1 Geometrie 1. Pomocný učebný text. Plzeň, Západočeská univerzita v Plzni. 2005, s. 7-11 M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 9-11
Pozri aj Skalár (matematika) Vektor (matematika) Vektorový priestor Priamka Rovina (geometria)
Externé odkazy Algebra - Vektorový priestor Lineárna algebra
Kategória:Lineárna algebra