V matematike sa pojmom faktoriál prirodzeného čísla označuje súčin všetkých prirodzených čísel od po 1. Zapisuje sa a číta sa „n faktoriál“. Napríklad:
Definícia Faktoriál kladného celého čísla je definovaný vzťahom:
Pre potreby kombinatoriky je výhodné definovať aj faktoriál nuly. V takom prípade sa definitoricky kladie .
Kombinatorické súvislosti Faktoriál čísla sa rovná počtu rôznych permutácii -prvkovej množiny.
Asymptotické vlastnosti Funkcia faktoriál rastie rýchlejšie, než akákoľvek exponenciálna funkcia a tým skôr rýchlejšie než akýkoľvek mnohočlen. Pre zaujímavosť, už predstavuje približne číslo 1,197·10100 čo je číslo väčšie ako odhadovaný počet atómov v nám známom vesmíre.
Algoritmické implementácie Implementácia pomocou rekurzívnej funkcie. Ukážka v pseudokóde:
function faktorial(n) if n = 0 then return 1 else return n * faktorial(n - 1)
Ukážka implementácie v programovacom jazyku C:
long double faktorial (int n) { long double b = 1; while (n--) b*=n+1; return b;
Dvojitý faktoriál, multifaktoriál Okrem bežného faktoriálu sa môže definovať tiež dvojitý faktoriál, označený n!!, v ktorom sa činitele znižujú po dvoch namiesto po jednom. Je možno ho rekurzívne definovať ako
Napríklad 8!! = 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 384, 9!! = 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 945.
Postupnosť dvojitých faktoriálov čísel 0, 1, 2, … začína 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …
Okrem dvojitého faktoriálu môžeme túto ideu zovšeobecniť na (už nie príliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atď. (všeobecne n!(k)).
Pozri aj
Superfaktoriál Hyperfaktoriál
Iné projekty
Externé odkazy Výpočet faktoriálu (0≤N≤40000) Faktoriál
Kategória:Kombinatorika Kategória:Teória čísel