thumb|Injektívne zobrazenie, ktoré nie je zároveň aj surjektívne. Prosté zobrazenie alebo injektívne zobrazenie alebo injekcia je také zobrazenie množiny X do množiny Y, že každý prvok množiny Y je obrazom najviac jedného prvku z množiny X. Pojem injektívneho zobrazenia si nemožno pomýliť s bijektívnym zobrazením, ktoré je zároveň injekciou a surjekciou. K bijekcii, teda prostému zobrazeniu množiny X na Y (injekcia a surjekcia) existuje inverzné zobrazenie.
Na rozdiel od zobrazenia na (surjekcia), prosté zobrazenie nemusí byť definované pre všetky obrazy a vzory, teda môžu existovať prvky cieľovej množiny, ktoré nemajú svoj vzor.
Definícia Nech a sú množiny. Zobrazenie nazývamé prostým zobrazením, či injektívným zobrazením alebo injekciou, ak navzájom rôznym prvkom množiny sú priradené rôzne prvky množiny .
Symbolicky píšeme:
.
Dané tvrdenie je logicky ekvivalentné s transponovanou implikáciou:
.
Príklady
Identické zobrazenie také, že pre každé platí je injektívne (dokonca aj bijektívne, inverz je opäť identickým zobrazením).
Lineárna funkcia , kde , pričom konštanty sú reálne, je prostá, pretože ak platí , platí i , teda pre ľubovoľné reálne . Kvadratická funkcia , kde , pričom konštanty sú reálne, prostá nie je, pretože . Mocninová funkcia taká, že , kde je prostá len pre nepárne hodnoty exponentu , pretože ak by , tak . Exponenciálna funkcia definovaná ako je prostá. Obrazom zobrazenia je interval , teda dané zobrazenie nie je surjektivne. Prirodzený logaritmus definovaný priradením je prostou funkciou. Spojité reálne funkcie sú prosté práve vtedy, keď každá horizontálna priamka (rovnobežná s osou ) pretína graf funkcie v nanajvýš jednom bode. Dané tvrdenie nám umožňuje určiť to, či je funkcia prostá, len z jej grafu. Ak je spojitá reálna funkcia rýdzo monotónna, tak je prostá. Vlastnosti náhľad|Kompozícia injektívnych zobrazení je tiež injektívnym zobrazením. Nech sú množiny a nech a sú ľubovoľné zobrazenia, potom platia nasledujúce výroky:
Ak a sú injekciou, potom aj je injekciou. Ak je injekciou, potom aj je injekciou. Ak sú množiny konečné, potom zobrazenie je injekciou vtedy a len vtedy, keď je aj surjekciou (teda je bijekciou). Ak sú množiny konečné a zároveň , potom každé injektívne zobrazenie je permutáciou množiny .
Referencie
Pozri aj Zobrazenie na Bijekcia Prostá funkcia
Iné projekty
Kategória:Teória množín Kategória:Vlastnosti matematických funkcií