Dirichletova funkcia je funkcia, ktorá je definovaná na obore všetkých reálnych čísel a pritom nie je spojitá v žiadnom bode.
Definícia Dirichletova funkcia D(x) je definovaná následujúcim predpisom:
Skutočný graf tejto funkcie nemožno žiadnym spôsobom nakresliť ani si ho predstaviť, čo viedlo mnohých matematikov hlavne v 19. storočí k pochybnostiam, či je Dirichletova funkcia skutočne funkciou či akousi „príšerou“, ktorá nepatrí do matematiky. Dnes už matematika celkom bez námietok uznáva aj omnoho zvláštnejšie funkcie.
Vlastnosti Vlastnosti Dirichletovej funkcie: nie je spojitá v žiadnom bode nemá dokonca v žiadnom bode limitu a to ani jednostrannú. nie je monotónna na žiadnom intervale. nadobúda maximum v každom racionálnom bode a minimum v každom iracionálnom bode Lebesgueov integrál cez celý definičný obor je rovný 0, jej Newtonov integrál ani Riemannov integrál neexistujú
Lebesgueov integrál Dirichletovej funkcie Môžeme ho uviesť napr. na intervale , podľa teórie Lebesgueovho integrálu má byť interval cez ktorý integrujeme lebesgueovsky merateľný. Interval je podmnožina množiny reálnych čísel, teda je to zjednotenie množiny racionálnych čísel a množiny iracionálnych čísel (teda množina iracionálnych čísel je rovná množinovému rozdielu reálne čísla – racionálne čísla :.Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny : (racionálne čísla) rovná 0, :, pretože ide o spočítateľnú množinu, teda príspevok všetkých racionálnych čisel k integrálu je 0. Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny : ( na intervale ). V iracionálnych čislach je však , teda aj príspevok iracionálnych je rovný 0. Teda platí, že .
Pozri aj Riemannova funkcia
Kategória:Matematické funkcie Kategória:Eponymické termíny v matematike