Maxwellove rovnice sú základné zákony v makroskopickej teórii elektromagnetického poľa, ktoré sformuloval James Clerk Maxwell v roku 1865. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.
Formulácia Maxwellových rovníc Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla c a (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.
Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon) integrálny tvar
Cirkulácia vektoru H po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná súčtu celkového vodivého prúdu I a posuvného prúdu , uzavretého krivkou c, Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.
diferenciálny tvar
Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa H je rovná hustote vodivého prúdu j a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu
Druhá Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon) integrálny tvar
Cirkulácia vektoru E po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou S, ktorá je ohraničená krivkou c. Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.
diferenciálny tvar
Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa E je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetickej indukcie B .
Tretia Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky)
integrálny tvar
Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou S je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti V ohraničenej plochou S.
diferenciálny tvar
Divergencia vektoru elektrickej indukcie D je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.
Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku) integrálny tvar
Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou S je rovný nule.
diferenciálny tvar
Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).
Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka Označenie Význam Jednotka SI intenzita elektrického poľa V/m intenzita magnetického poľa A/m elektrická indukcia C/m² magnetická indukcia T hustota voľného náboja C/m³ hustota prúdu A/m²
Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou
Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m2) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:
a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi:
kde:
je elektrická susceptibilita materiálu,
je magnetická susceptibilita materiálu,
ε je elektrická permitivita materiálu a
μ je magnetická permeabilita materiálu
V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:
V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.
Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.
Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare
kde γ je merná vodivosť daného materiálu.
Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov
Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu a , ktoré sú definované tak, aby platilo
a sa pritom nezmenia, ak od potenciálu odčítame ľubovolnú , alebo k pričítame , kde je ľubovolná skalárna funkcia. Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku
Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore
kde je d’Alembertov operátor.
V špeciálnej teórii relativity tvorí elektrický a magnetická potenciál dohromady štvorvektor nazývaný štvorptenciál D'Alembertov operátor je tiež možné zobecniť na štvorvektory. V tomto formalizme (a s predpokladom Lorenzovej podmienky) sa dajú všetky Maxwellove rovnice napísať pomocou jednej nehomogénnej vlnovej rovnici
kde je elektrický štvorprúd a je permeabilita. Vo vákuu je štvorprúd nulový, takže rovnica sa stane homogénnou a jej riešenie zodpovedá šíreniu elektromagnetických vĺn.
Iné projekty
Zdroj
Kategória:Elektromagnetizmus Kategória:Eponymické termíny vo fyzike