Relácia ekvivalencie alebo jednoducho ekvivalencia je binárna relácia, ktorá je súčasne reflexívna, symetrická a tranzitívna.
Definícia
Ak ~ je relácia na množine X, tak ide o reláciu ekvivalencie, ak pre ľubovoľné prvky a, b, c množiny X platí:
a ~ a. (reflexívnosť) Ak a ~ b, tak aj b ~ a. (symetrickosť) Ak a ~ b a b ~ c, tak a ~ c. (tranzitívnosť)
Relácie ekvivalencie a rozklady
Relácie ekvivalencie sú v úzkom vzťahu s rozkladmi. Ak máme reláciu ~ na množine M, tak pre každý prvok definujeme jeho triedu ako
Inak povedané, [a] je množina všetkých prvkov, ktoré sú v relácii s prvkom a.
Pre ľubovoľné dve triedy [a] a [b] platí buď [a]=[b] alebo , t.j. dve rôzne triedy sú navzájom disjunktné. Zjednotenie všetkých tried je celá množina X. Teda množina
všetkých tried ekvivalencie tvorí rozklad množiny X.
Takto dostaneme z ľubovoľnej relácie ekvivalencie rozklad. Obrátene, z každého rozkladu množiny X sa dá vyrobiť zodpovedajúca relácia ekvivalencie na X. Dva prvky budú v relácii práve vtedy, keď ležia v tej istej triede rozkladu.
Máme teda jednojednoznačnú korešpondenciu medzi rozkladmi množiny X a reláciami ekvivalencie na X.
Referencie
Literatúra
Iné projekty
Kategória:Binárne relácie