Binomická veta je dôležitá matematická veta, vďaka ktorej môžeme n-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov. Veta vychádza z kombinatoriky.
Znenie vety Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo n, tak potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y platí:
kde je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom:
Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! je faktoriál čísla n.
Iný zápis vyzerá takto:
pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:
Dôkaz Použijeme matematickú indukciu. Keď n = 0, rovnosť platí:
Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m. Potom pre :
z indukčného predpokladu:
násobené číslami a :
vyjmutie zo sumy:
substitúciou :
vyjmutie zo sumy:
zloženie dvoch súm:
z Pascalovho pravidla:
pridaním mocniny do výrazu: .
Q.E.D.
Príklady Príklady použitia binomickej vety pre n = 2, n = 3 a n = 4:
Newtonova binomická veta Binomickú vetu možno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných) čísel je umocňovaný na reálne číslo. Nech je teda a reálne číslo. Potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y také, že platí: kde:
, kde k > 0
Referencie
Pozri aj Binomické rozdelenie Pascalov trojuholník Kombinatorika Multinomická veta
Iné projekty
Kategória:Matematika Kategória:Kombinatorika