Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície

Pevný bod

Nech je zobrazenie. Bod nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak .

Kontraktívne zobrazenie

Nech je metrický priestor, nech . Nech je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, taká, že pre všetky platí

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre .

Znenie vety

Nech je úplný metrický priestor. Nech je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod . Navyše, pre každé platí pre (symbol označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí .

Dôkaz

Existencia pevného bodu

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí

Keďže

je postupnosť fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Jednoznačnosť pevného bodu

Sporom. Nech sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

z čoho , čo je spor.

Rýchlosť konvergencie

Tvrdenie

dokážeme matematickou indukciou:

Nech . Potom z kontraktívnosti f:

Nech tvrdenie platí pre . Ukážeme, že platí aj pre :

Aplikácie

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

Literatúra

Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2004. Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.

Iné projekty

Externé odkazy

Dôkaz Banachovej vety o pevnom bode na Bourbawiki . Banach Fixed Point Theorem . Článok o Banachovej vete o pevnom bode na PlanetMath .

Kategória:Funkcionálna analýza Kategória:Numerická matematika Kategória:Eponymické termíny v matematike