thumb|right|250px|Realni (rdeče) in imaginarni del (modro) Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice . Prve netrivialne ničle so v točkah in .
Riemannova domneva je v matematiki domneva, da imajo vse netrivialne ničle Riemannove funkcije ζ realni del enak 1/2. Predlagal jo je Bernhard Riemann leta 1859.. Ime domneve je povezano tudi z nekaterimi drugimi zelo sorodnimi pojmi, kot na primer Riemannova domneva o krivuljah v končnih obsegih.
Riemannova domneva obsega rezultate o porazdelitvi praštevil. Skupaj z ustreznimi posplošitvami jo imajo nekateri matematiki za najpomembnejši nerešeni problem v čisti matematiki.. Riemannova domneva je skupaj z Goldbachovo domnevo del Hilbertovega osmega problema na Hilbertovem seznamu 23-ih nerešenih problemov iz leta 1900. Kot edini problem s Hilbertovega seznama je uvrščena tudi med problemi tisočletne nagrade Clayjevega matematičnega inštituta.
Riemannova funkcija ζ(s) je funkcija, katere argument s je lahko poljubno kompleksno število različno od 1 in katere vrednosti so tudi kompleksne. Njene ničle se pojavljajo pri negativnih sodih celih številih – , kadar je Te ničle se imenujejo trivialne ničle. Odvod Riemannove funkcije ζ v trivialnih ničlah je dan analitično:..
tako da se predznak odvoda izmenično spreminja. Vendar te ničle niso edine vrednosti za katere je vrednost funkcije ζ enaka nič. Druge ničle se imenujejo netrivialne ničle. Riemannova domneva zadeva lege teh netrivialnih ničel in pravi:
da je realni del vseh netrivialnih ničel Riemannove funkcije ζ enak (), oziroma enakovredno, za ..
V novejšem času se k zgornji definiciji doda pogoj, da so netrivialne ničle enostavne, kar pomeni, da je v njih odvod različen od nič:
Če je domneva pravilna, tako vse netrivialne ničle ležijo na kritični premici, ki vsebuje kompleksna števila , kjer je t realno število, i pa imaginarna enota, in so enostavne. Zapis je standarden že od Riemannovega izvirnega članka. Sicer se rabijo tudi drugačni zapisi, na primer še posebej za netrivialne ničle . Prve vrednosti t so:
n OEIS 1 14,134725141734... 14 14 15 14 14 2 21,022039638771... 21 21 22 6 7 3 25,010857580145... 25 25 26 3 4 4 30,424876125859... 30 30 31 5 5 5 32,935061587739... 32 33 33 2 3 6 37,586178158825... 37 38 38 4 5 7 40,918719012147... 40 41 41 3 3 8 43,327073280914... 43 43 44 2 2 9 48,005150881167... 48 48 49 4 5 10 49,773832477672... 49 50 50 1 2
Iz prvih vrednosti je razvidno, da je , vendar se pri n 9137 neenakost obrne, saj je:.
Naslednja ničla je spet večja od n pri . Potem naprej vse do n 107 neenakost spet velja in se verjame, da velja naprej.
Riemannova funkcija ζ in njen logaritemski odvod sta povezana:.
kjer je Λ von Mangoldtova funkcija.
Ničle se lahko zapišejo z zaporedjem:
Rademacher je dokazal, da če je Riemannova domneva pravilna, imaginarni deli tega zaporedja tvorijo enakomerno porazdeljeno zaporedje. Hlawka je pokazal kako se lahko Rademacherjev rezultat dokaže brez privzetka o pravilnosti Riemannove domneve.. Rademacher-Hlawkov izrek pravi, da so za vsako realno število ulomljeni deli zaporedja:
enakomerno porazdeljeni v smislu, da za vsak podinterval del točk iz podintervala težijo k , ko gre .
O Riemannovi domnevi obstaja več netehničnih knjig, kot npr. avtorjev: Derbyshire,. Rockmore,. Sabbagh,.. du Sautoy.. Knjige avtorjev: Edwards,. Patterson,., Borwein idr.,. in Mazur; Stein. podajajo matematični uvod, Titchmarsh,. Ivić,. in Karacuba; Voronin. pa so naprednejše monografije.
Riemannova funkcija ζ
Riemannova funkcija ζ je definirana za kompleksni s z realnim delom večjim od 1 z absolutno konvergentno neskončno vrsto:
Leonhard Euler je pokazal, da je ta vrsta enaka Eulerjevemu produktu:
kjer neskončni produkt poteka po vseh praštevilih p in spet konvegira za kompleksni s z realnim delom večjim od 1. Konvergenca Eulerjevega produkta kaže, da funkcija ζ(s) nima ničel v tem območju, saj je vsak faktor brez ničel.
Riemannova domneva obravnava ničle zunaj območja konvergence te vrste, zato mora zanjo obstajati analitično nadaljevanje na vse kompleksne s. To se lahko doseže, da se jo razvije z Dirichletovo funkcijo η kot sledi. Če je realni del s večji od 1, za funkcijo ζ velja:
Vendar vrsta na desni konvergira ne samo, kadar je s večji od 1, ampak splošneje kadar ima s pozitivni realni del. Ta alternativna vrsta razširja funkcijo ζ iz območja v večjo območje in izključuje ničle funkcij . Tudi funkcija ζ se lahko razširi na te vrednosti z limitami, ki dajo končno vrednost za vse vrednosti s s pozitivnim realnim delom , razen za enostavni pol v s = 1.
V traku za funkcijo ζ velja funkcijska enačba:
kjer je Γ funkcija Γ. Lahko se definira ζ(s) za vsa preostala kompleksna števila s, če se privzame, da ta enačba velja tudi zunaj traku in, da je funkcija ζ(s) enaka desni strani enačbe, kadar s nima pozitivnega realnega dela. Če je s negativno celo število, potem je ζ(s) = 0, ker se faktor sin(πs/2) poniči – to so trivialne ničle funkcije ζ. Vrednost ζ(0) = −1/2 ni določena s funkcijsko enačbo, ampak je limitna vrednost funkcije ζ(s), ko se s približuje ničli. Iz funkcijske enačbe tudi sledi, da funkcija ζ nima ničel z negativnim realnim delom razen trivialnih ničel, in tako vse netrivialne ničle ležijo na kritični premici, kjer ima s realni del med 0 in 1.
Ozadje in zgodovina
thumb|right|250px|Prva stran Riemannovega članka O številu praštevil, manjših od dane velikosti (Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) iz leta 1859
V svojem članku iz leta 1859 O številu praštevil, manjših od dane velikosti (Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) je Riemann našel eksplicitne formule za število praštevil π(x) manjše od danega števila x. Njegova formula je dana s pomočjo povezane funkcije:
ki šteje praštevila in praštevilske potence do x, praštevilske potence pn kot 1/n praštevila. Število praštevil se lahko izvede iz te funkcije z:
kjer je μ Möbiusova funkcija. Riemannova formula je potem:
kjer vsota poteka po netrivialnih ničlah funkcije ζ in kjer je Π0 malo modificirana različica Π, ki zamenja njegovo vrednost v točkah neveznosti s povprečjem njegove zgornje in spodnje limite:
Vsota Riemannove formule ni absolutno konvergenta, lahko pa se izračuna z ničlami t po velikosti absolutne vrednosti njihovega imaginarnega dela. Funkcija Li, ki se pojavlja v prvem členu, je funkcija (ordinatnega) logaritemskega integrala, ki je dan s Cauchyjevo glavno vrednostjo divergentnega integrala:
Člene funkcije Li(xρ), ki vsebujejo ničle funkcije ζ, je treba previdno definirati, ker ima funkcija Li vejišči v 0 in 1, in so definirani (za x > 1) z analitičnim nadaljevanjem kompleksne spremenljivke ρ v območju Re(ρ) > 0, kar pomeni, da jih je treba obravnavati kot Ei(ρ ln x). Tudi drugi členi odgovarjajo ničlam: prevladujoči člen funkcije Li(x) izhaja iz pola v s = 1, če se ga obravnava kot ničla multiplikativnosti −1, preostali manjši členi pa izhajajo iz trivialnih ničel. Za nekatere grafe vsot prvih členov te vrste glej Riesel; Göhl. ali Zagier..
Ta formula pravi, da ničle Riemannove funkcije ζ nadzorujejo nihanja praštevil okrog njihovih »pričakovanih« leg. Riemann je vedel, da so netrivialne ničle funkcije ζ simetrično porazdeljene okrog premice prav tako je vedel, da morajo vse njene netrivialne ničle ležati v območju Preveril je, da nekatere ničle ležijo na kritični premici z realnim delom enakim 1/2 in predlagal, da vse ležijo tam, kar je tudi domneva sama.
Posledice Riemannove domneve
Praktična raba Riemannove domneve vključuje več predlogov, ki veljajo, če je Riemannova domneva pravilna, in tiste, ki naj bi bili njej enakovredni.
Porazdelitev praštevil
Riemannova eksplicitna formula za število praštevil, manjših od danega števila, s členi vsote prek vseh ničel Riemannove funkcije ζ pravi, da velikost nihanj praštevil okrog njihovih pričakovanih leg nadzorujejo realni deli ničel funkcije ζ. Še posebej je člen napake v praštevilskem izreku tesno povezan z legami ničel. Na primer supremum realnih delov ničel je infimum takšnih števil β, da je napaka O(xβ)..
Von Koch je leta 1901 dokazal, da Riemannova domneva nakazuje »najbolj možno« mejo napake za praštevilski izrek..
Točna različica von Kochovega rezultata po pravi, da Riemannova domneva nakazuje:
Schoenfeld je leta 1976 tudi pokazal, da Riemannova domneva nakazuje:
kjer je ψ(x) druga funkcija Čebišova.
Rast aritmetičnih funkcij
Riemannova domneva nakazuje močne meje rasti mnogo drugih aritmetičnih funkcij poleg funkcije števila praštevil.
En zgled je Möbiusova funkcija μ. Izjava, da enačba:
velja za vsak s z realnim delom večjim od 1/2, kjer vsota na desni konvergira, je enakovredna Riemannovi domnevi. Od tod se lahko zaključi tudi, da, če je Mertensova funkcija definirana kot:
potem je trditev, da:
za vsak pozitiven ε, enakovredna Riemannovi domnevi. Determinanta Redhefferjeve matrike reda n je enaka M(n), tako da se lahko Riemannova domneva izrazi kot pogoj za rast teh determinant. Riemannova domneva da precej ozko mejo rasti M, ker sta Odlyzko in te Riele leta 1985 dokazala nepravilnost malo močnejše Mertensove domneve:.
Riemannova domneva je enakovredna mnogim drugim domnevam o stopnji rasti drugih aritmetičnih funkcij poleg Möbiusove funkcije μ(n). Tipični zgled je Robinov izrek,. ki pravi, da, če je σ(n) funkcija vsote deliteljev, podana z:
potem velja:
če in samo če je Riemannova domneva pravilna. Tu je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.
Drug primer je našel Jérôme Franel in ga razširil Landau.. Riemannova domneva je enakovredna več izjavam, ki kažejo, da so členi Fareyjevega zaporedja regularni. Ena takšna ekvivalenca je: če je Fn Fareyjevo zaporedje reda n in se začne z 1/n in konča z 1/1, potem je trditev, da za vse ε > 0:
enakovredna Riemannovi domnevi. Tukaj je:
število členov v Fareyjevem zaporedju reda n.
Za zgled iz teorije grup, če je g(n) Landauova funkcija podana z največjim redom elementov simetrične grupe Sn stopnje n, potem je Riemannova domneva enakovredna meji:.
za vse dovolj velike n.
Lindelöfova domneva in rast funkcije ζ
Riemannova domneva ima tudi več šibkejših posledic. Ena je Lindelöfova domneva. o stopnji rasti funkcije ζ na kritični premici iz leta 1908, ki pravi, da za vsak velja:
ko gre .
Iz Riemannove domneve izhajajo tudi precej ostre meje za stopnjo rasti funkcije ζ v drugih območjih kritičnega traku. Na primer:
tako da bi bila stopnja rasti ζ(1+it) in njenega inverza znana vse do faktorja 2.
Domneva velikih praštevilskih vrzeli thumb|right|250px|Vrzeli med zaporednimi praštevili do
Po praštevilskem izreku je povprečno vrzel med praštevilom in naslednjim praštevilom enaka:
Nekatere vrzeli pa so lahko veliko večje od povprečja. Cramér je dokazal, da je ob privzetku pravilnosti Riemannove domneve vsaka vrzel enaka:
To je primer, v katerem je tudi najboljša meja, ki se jo lahko dokaže s pravilnostjo Riemannove domneve, veliko šibkejša od tistega, kar se zdi resnično: Cramérjeva domneva pravi, da je vsaka vrzel med zaporednima prašteviloma enaka:
ki je sicer večja od povprečne vrzeli, vendar veliko manjša od meje, ki sledi iz Riemannove domneve. Numerični računi podpirajo Cramérjevo domnevo..
Kriteriji enakovredni Riemannovi domnevi
Obstaja več kot sto izjav, ki so enakovredne Riemannovi domnevi, vendar do sedaj nobena ni vodila k napredku pri njenem dokazovanju (ali ovržbi). Sledijo nekateri tipični zgledi. Drugi vključujejo funkcijo števila deliteljev σ(n).
Rieszov kriterij je podal Marcel Riesz leta 1916.. Meja:
velja za vse , če in samo če je Riemannova domneva pravilna.
Nyman. je leta 1950 dokazal, da je Riemannova domneva pravilna, če in samo če je prostor funkcij oblike:
kjer je ρ(z) ulomljeni del z, , in je:
gosta v Hilbertovem prostoru L2(0,1) kvadratnointegrabilnih funkcij v enotskem intervalu. Beurling. je leta 1955 to razširil in pokazal, da funkcija ζ nima ničel z realnim delom večjim od 1/p, če in samo če je ta funkcijski prostor gost v Lp(0,1).