Gelfondova konstanta je v matematiki konstanta, definirana kot potenca realnega števila :
Tako kot in je tudi ta konstanta iracionalna in transcendentalna. To izhaja iz Gelfond-Schneiderjevega izreka, ki določa, da je število oblike transcendentno, glede na to ali algebrski in ni enak 0 ali 1, ter da je algebrski, vendar ne racionalen. Tako je:
kjer je imaginarna enota. Ker je algebrski, vendar ni racionalen, je transcendenten. Števili in sta algebrsko neodvisni nad racionalnimi števili, kakor je pokazal Jurij Valentinovič Nesterenko. Ni znano ali je Liouvillovo število. Konstanta je bila omenjena v Hilbertovem sedmem problemu skupaj z Gelfond-Schneiderjevo konstanto . Imenuje se po ruskem matematiku Aleksandru Osipoviču Gelfondu (1906–1968).
Pojavitve
Konstanta se pojavlja v povezavi s prostorninami hiperkrogel:
thumb|right|250px|Grafi prostornin in površin -krogel s polmeri .
Prostornina n-krogle s polmerom je dana z:
kjer je funkcija gama. Za enotske krogle () velja:
Za vsako sodorazsežno 2n-kroglo velja:
Vsota vseh sodorazsežnih prostornin enotske krogle in z uporabo razvoja v vrsto eksponentne funkcije da:
Če se definira:
in:
za , potem zaporedje:
konvergira hitro k številu .
Podobne ali povezane konstante
Ramanudžanova konstanta
Število je znano kot Ramanudžanova konstanta. Njena desetiška vrednost je:
kar se izkaže za zelo blizu celemu številu – to je uporaba Heegnerjevih števil, kjer je 163 obravnavano Heegnerjevo število. To število je leta 1859 odkril francoski matematik Charles Hermite. Leta 1975 je v članku v reviji Scientific American ob 1. aprilu kolumnist kolumne »Mathematical Games« Martin Gardner izdal lažno trditev, da je število v resnici celo število in da ga je napovedal indijski matematični genij Srinivasa Ajangar Ramanudžan – od tod tudi njegovo ime. Ramanudžanova konstanta je tudi transcendentno število.
Naključna bližina do ene bilijoninke števila se pojasni s kompleksnim množenjem in -razširitvijo -invariante, še posebej:
in:
kjer je člen napake:
kar pojasni zakaj je 0,000 000 000 000 75 manj od števila .
(Za več podrobnosti tega dokaza glej članek o Heegnerjevih številih.)
Število
Tudi število je zelo blizu celemu številu. Njegova desetiška vrednost je:
Obrazložitev za to na videz izjemno naključje je podal A. Doman septembra 2023 in je rezultat vsote, povezane z Jacobijevimi funkcijami theta, kot sledi:
Prvi člen prevladuje, ker je vsota členov za enaka . Vsoto je lahko tako mogoče skrajšati na , kar z razrešitvijo za da . Če se približek za zapiše ponovno in z uporabo približka za sledi:
S preureditvijo členov sledi . Ironično, grob približek za daje dodaten red velikosti natančnosti.
Število
Desetiška vrednost števila je:
Ni znano ali je to število transcendentno ali ne. Upoštevati je treba, da se lahko z Gelfond-Schneiderjevim izrekom dokončno sklepa, ali je transcendenten ali ne, če sta števili in algebrski ( in veljata za kompleksni števili).
V primeru števila se lahko dokaže samo transcendentnost tega števila zaradi značilnosti kompleksnih eksponentnih form in zgornje enakovrednosti, dane za pretvorbo v , kar omogoča uporabo Gelfond-Schneiderjevega izreka.
Število nima takšne enakovrednosti in zato, ker sta tako kot transcendentna, se ne da uporabiti Gelfond-Schneiderjevega izreka, da bi se sklepalo o transcendentnosti . Vendar bi trenutno nedokazana Schanuelova domneva implicirala njegovo transcendentnost.
Število
Uporaba glavne vrednosti kompleksnega logaritma da:
Desetiška vrednost tega števila je:
Njegova transcendentnost sledi neposredno iz transcendentnosti števila in neposredno iz Gelfond-Schneiderjevega izreka.
Glej tudi
Sklici
Viri
Nadaljnje branje
Zunanje povezave
Kategorija:Matematične konstante Kategorija:Transcendentna števila