Stefan-Boltzmannov zákon (tudi Stefanov zákon) [štéfan-bólcmanov ~] o sevanju črnega telesa je v fiziki zakon, po katerem je gostota energijskega toka j*, ki ga seva črno telo, sorazmerna četrti potenci njegove termodinamične temperature T:
thumb|right|200px|Jožef Stefan thumb|right|200px|Ludwig Edward Boltzmann Sorazmernostna fizikalna konstanta σ = 5,670 373(21) · 10−8 W m−2 K−4 je znana kot Stefanova konstanta ali Stefan-Boltzmannova konstanta. Zakon je leta 1879 odkril slovenski fizik Jožef Stefan (1835–1893), leta 1884 pa ga je njegov učenec, avstrijski fizik Ludwig Edward Boltzmann (1844–1906) tudi teoretično izpeljal v okviru termodinamike. Boltzman je upošteval drugi zakon termodinamike, kinetično teorijo plinov in obravnaval idealni reverzibilno delujoč toplotni stroj s svetlobnim sevanjem kot delovno snovjo namesto plina. To sevanje naj bi izvajalo tlak na stene posode. To je edini fizikalni zakon, imenovan po kakšnem slovenskem fiziku.
Sedaj se ga lahko izpelje iz Planckovega zakona:
in velja samo za idealna črna telesa.
Splošna oblika
V splošnem ima zakon obliko:
kjer je izsevnost za idealno črno telo. Za siva telesa, za katera je odbojnost a neodvisna od valovne dolžine, ima zakon obliko:
Če pa je odbojnost odvisna od valovne dolžine , velja Kirchhoffov zakon sevanja:
oziroma:
V tehniki splošni Stefan-Boltzmannov zakon običajno zapišejo v obliki:
predvsem zaradi lažjega računanja, kjer je izsevnost v smeri pravokotno na površino. Izsevnost za sevanje v polprostor, za gladka kovinska, gladka in hrapava telesa je:
Barva površine ne vpliva na izsevnost. Bele površine močno sevajo. Majhno izsevnost imajo v glavnem gladke snovi kot sta aluminij in bron. Steklo prepušča kratkovalovno svetlobo, ne prepušča pa dolgovalovnega toplotnega sevanja.
Z razliko od trdnih teles, ki sevajo in absorbirajo s površine, je stopnja absorpcije pri plinih odvisna od debeline plinske plasti, in poteka po celotni prostornini (absorpcijski zakon):
kjer je dolžina poti sevanja skozi plin in absorpcijski koeficient. Enoatomni in večina dvoatomnih plinov se lahko v tehničnih preračunih obravnavajo kot diatermne snovi. Tehnično je pomembno sevanje ogljikovega dioksida in vodne pare, ki sevata in absorbirata v širših pasovih valovnih dolžin spektra. Nad 600 °C je oddajanje toplote teh plinov lahko veliko, pri še višjih temperaturah je lahko izdatnejše od prestopa toplote.
Odkritje thumb|right|200px|John William Draper thumb|right|200px|Tyndall (desni) s Faradayem, Huxleyjem, Wheatstoneom in Brewsterjem
Stefan je zakon objavil 20. marca v članku O odnosu med toplotnim ravnovesjem in temperaturo (Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur) v Poročilih z zasedanj dunajske Akademije znanosti. Iz razprave je razvidna njegova pot do odkritja zakona. Rokopis povzetka članka je vseboval štiri strani formata A4, rokopis celotnega članka je bil dolg 61 strani, tiskan članek pa je imel 38 strani.
Newton je ugotovil, da je jakost sevalnega toka z vročega telesa sorazmerna z razliko temperatur telesa in okolice. Dulong in Petit sta pokazala, da temperatura pri odvisnosti ne nastopa linearno in so pri tem pomembne višje stopnje.
Draper je leta 1847 poskušal ugotoviti pri kateri temperaturi začne segreto telo sevati. Tega ni ugotovil, ugotovil pa je, da narašča gostota izsevanega energijskega toka mnogo hitreje kot premosorazmerno s temperaturo. Stefan je leta 1878 bral Draperjevo razpravo o sevalni energiji. Leta 1848 je Kelvin uvedel absolutno temperaturno lestvico. Tudi Stefan je v svojem zakonu uporabil absolutno temperaturo. Kirchhoff je leta 1859 podal zakon o toplotnem sevanju in ga leta 1861 dokazal:
Leta 1862 je skoval izraz sevanje »črnega telesa«. Primerjal je sevanje črnih in drugih sevajočih teles. Nakazal je tudi, kako bi se dalo uresničiti takšno sevanje. Sevanje črnega telesa je odvisno le od temperature vira sevanja, Kirchhoff pa funkcionalne oblike ni uspel določiti.
Tyndall je leta 1864 raziskoval »nevidno« infrardečo svetlobo. Infrardeče valovanje je odkril William Herschel in odkritje objavil leta 1800. Uporabil je prizmo in z njo lomil sončno svetlobo. S termometrom je izmeril porast temperature za rdečim delom svetlobnega spektra. Imenoval jo je toplotni žarki. Izraz infrardeča svetloba se je pojavil v poznem 19. stoletju. Seebeck je leta 1821 odkril termoelektrični pojav. Melloni je kmalu zatem leta 1835 izdelal prvo termoelektrično baterijo in odkril toplotno sevanje. Za novo sevanje so ugotovili, da gre za človeškemu očesu nevidno svetlobo, oziroma za elektromagnetno valovanje z malo večjo valovno dolžino od rdeče vidne svetlobe.
Leta 1840 je John Herschel posnel prvo infrardečo sliko. Tyndall je z električnim tokom segrel žarnico, v kateri je tedaj običajno ogleno nitko nadomestil s platinasto žičko. Žička je zažarela. Ko je električni tok naraščal, je naraščala temperatura žičke in je sevala vedno več svetlobe. Svetlobo je zajel z lečo in s prizmo iz kamene soli razklonil svetlobo, ki jo je sevala žička, na mavrični spekter. Na mesto za rdečim delom je postavil baterijo zaporedno vezanih termoparov. Spojna mesta, v katerih je imel tok smer iz ene kovine v drugo, je združil na zunanji strani merilnika in jih počrnil. Spojna mesta, kjer je imel tok obratno smer, je skril v ohišje merilnika. Prva spojna mesta so absorbirala vpadno svetlobo in se segrela, druga pa so imela temperaturo okolice. Z občutljivim galvanometrom je meril tok. Tyndall je želel dobiti le približen pregled in temperature žičke ni meril. Navedel je le barvo izsevane svetlobe. Za šibko rdečo je bil odklon galvanometra 10,4° in za belo 60°. V letu 1864 je objavil razpravo O vidnem in nevidnem sevanju, kjer je poskušal odgovoriti, kako je sevanje rdeče svetlobe odvisno od temperature. Nemški prevod je izšel leta 1865 in prebral ga je Wüllner. V drugo in tretjo izdajo svojega učbenika termodinamike Nauk o toploti s stališča mehanične teorije toplote je vključil Tyndallove podatke. Barvam je priredil temperature. Čeprav se je skliceval na Draperjeva merjenja, je ravnal samovoljno. Wüllnerjevo knjigo je dobil v roke Stefan, spremenil temperaturi v absolutni in upošteval popravljeni odklon galvanometra za belo, za katerega je že Tyndall omenil, da je treba vzeti dvakratno vrednost 122°. Šibka rdeča barva žičke je tako imela temperaturo 798 K (525 °C), bela pa 1473 K (1200 °C). Pri tem je Stefan privzel, da je bila gostota izsevanega energijskega toka sorazmerna z odklonom galvanometra. Zvezo med absolutno temperaturo žičke T in gostoto izsevanega energijskega toka j je poskusil zapisati kot potenčni zakon:
Iz obeh parov podatkov je ugotovil razmerji energijskih tokov 122/10,4 = 11,731. Vrednosti se je dokaj točno približal, če je razmerje ustreznih absolutnih temperatur 1473/798 = 1,846 potenciral s četrto potenco: , tako da je n = 4. Vrednosti je preveril na Dulongovih in Petitovih podatkih in pri tem odštel prispevek prevajanja toplote. Nov zakon se je starim podatkom dobro prilegal. Konstanta σ, ki izhaja iz njegovih meritev, se lahko zapiše z današnjimi enotami:
Njegova meritev je bila dokaj točna in za 10,8 % premajhna od današnje izmerjene vrednosti. Zakon je preveril tudi za podatke de la Provostayea in Desainsa (1846), Draperja in Ericssona (1872) ter Despretza.
Bartoli je leta 1876 neodvisno od Maxwella izpeljal enačbo za sevalni tlak elektromagnetnega valovanja po termodinamični poti. Ugotovil je, da je mogoče z gibajočim se zrcalom ob dovajanju dela prenesti toploto s hladnejšega mesta na toplejše. Zamislil si je reverzibilno neskončno majhno Carnotovo krožno spremembo, kjer se entropija ne spremeni, dovedeno absolutno delo pa je vezano na tlak svetlobe na zrcalo. Da velja drugi zakon termodinamike, mora svetloba prenašati tlak na zrcalo. Tako so sevalni tlak imenovali tudi »Maxwell-Bartolijev tlak«.
Crova je leta 1880 objavil diagram trirazsežnega prikaza grafa jakosti toplotnega sevanja kot funkcije valovne dolžine in temperature.
Bartolijeve knjižice O gibanjih, ki jih povzroča toplota, in o Crookesovem radiometru ni nihče opazil. Nazadnje jo je opazil Boltzmann in povzel Bartolijevo misel, da drugi zakon termodinamike zahteva sevalni tlak, ter osem let kasneje izpeljal zakon po termodinamični poti. Bartoli je bil blizu Stefan-Boltzmannovega zakona, ni pa upošteval temperaturne odvisnosti gostote energijskega toka sevajočega črnega telesa. Povzetke knjižice je objavil leta 1884 in 1885. Stefan verjetno ni poznal Bartolijevih razmišljanj o vakuumu v radiometru iz leta 1876, dokler Bartolija leta 1883 ni javno podprl Eddy, profesor matematike in astronomije na Univerzi Cinncinnatija.
Von Kövesligethy, ki je na dunajski univerzi med drugim študiral teoretično fiziko pri Stefanu, je leta 1885 v svoji inavguracijski disertaciji Teorija zveznega spektra objavil spektralno enačbo, ki je predvidevala končno energijo za sevanje črnega telesa. Oblika krivulje odvisnosti spektralne gostote od valovne dolžine je bila zelo podobna Planckovi:
Von Kövesligethy je zapisal funkcionalno obliko spektralne enačbe kot:
Tu pomeni jakost sevanja pri valovni dolžini in jakost sevanja v celem razponu valovnih dolžin. Konstanta je določena s srednjo razdaljo in interakcijo med delci, ter daje valovno dolžino pri kateri je jakost sevanja največja. Tedaj je bilo znano, da trdnine začnejo sevati pri Draperjevi točki, neglede na vrsto sevalne snovi. Na podlagi tega rezultata je Von Kövesligethy privzel, da je v enačbi odvisna le od temperature.
Njegova spektralna enačba je imela enako značilnost, ki jo je odkril Wien leta 1893:
Von Kövesligethyjeva enačba podaja odvisnost konstante od temperature sevajočega telesa:
kjer indeks 0 označuje primerjalni sevalni vir. Najboljša izbira parametra v eksponentu je , kar da Wienov zakon, odkrit 11 let kasneje:
Izpeljava Izpeljava iz Planckovega zakona
Spektralno gostoto črnega telesa v odvisnosti od valovne dolžine podaja Planckov zakon:
kjer je Planckova konstanta, hitrost svetlobe v vakuumu Boltzmannova konstanta in absolutna temperatura.
Gostota svetlobnega toka je dana z integralom po vseh valovnih dolžinah:
Z uvedbo nove spremenljivke u:
kjer velja:
preide integral v:
Integral se lahko najprej izračuna za splošnejši primer:
ali:
Ker je imenovalec vedno manjši od 1, se ga lahko razvije po potencah , da se dobi konvergentno vrsto:
V osnovi se vzame enačbo za vsoto geometrične vrste. Ulomek na levi je izraz za vrsto, ki ga označuje vsota:
Skupni množitelj je . Nato se vrsto vstavi v integral:
Množenje z na levi premakne vsoto vrste za eno mesto na desno, tako da:
postane:
Zato se dvigne indeks v vsoti za eno in se zavrže :
Uvede se novo spremenljivko v:
tako da je:
in:
integral pa preide v:
oziroma:
Ker vsak člen v vsoti predstavlja konvergentni integral, se lahko vsoto postavi iz integrala:
Integral na desni je funkcija Γ, , vsota na levi pa Riemannova funkcija ζ, . Tako ima končno zgornji integral vrednost:
oziroma enakovredno:
Za cela števila velja:
oziroma
in od tod:
thumb|right|300px|Graf odvisnosti gostote energijskega toka od termodinamične temperature . V turkizni barvi je gostota energijskega toka po Wienovem približku
Za soda cela števila velja:
kjer je Bernoullijevo število, in velja:
tako da je:
analitična vrednost integrala pa:
kjer je polilogaritem.
Gostota svetlobnega toka je končno:
in Stefan-Boltzmannov zakon:
s konstantami:
in sevalno konstanto:
Termodinamična izpeljava
Boltzmann si je zamislil škatlo napolnjeno s sevanjem črnega telesa in z batom na eni steni, ki ga potiska sevalni tlak. Iz Maxwellovega napetostnega tenzorja klasične elektrodinamike sledi, da je sevalni tlak povezan z notranjo gostoto energije :
Skupno notranjo energijo za prostornino , ki vsebuje elektromagnetno sevanje, se lahko zapiše kot:
Po prvem in drugem zakonu termodinamike (osnovna termodinamska zveza) je sprememba notranje energije:
kjer sledi:
Po Maxwellovi termodinamični enačbi: