Funkcijska vrsta je v matematiki neskončna vsota funkcij. Od številske vrste se razlikuje po tem, da so njeni členi funkcije.
Konvergenca
Naj bo zaporedje funkcij na množici . Če za vsak konvergira številska vrsta , je funkcijska vrsta konvergentna (po točkah). Njena vsota določa funkcijo
Konvergenca po točkah ne ohranja zveznosti. Torej vsota konvergentne vrste zveznih funkcij ni vedno zvezna. Za zveznost je potrebno zahtevati enakomerno konvergenco.
Enakomerna konvergenca
Funkcijska vrsta enakomerno konvergira na , če na enakomerno konvergira zaporedje njenih delnih vsot . Vsaka enakomerno konvergentna vrsta konvergira tudi po točkah. Vsota enakomerno konvergentne vrste zveznih funkcij pa je zvezna funkcija.
Ekvivalentno enakomerni konvergenci je, da je vrsta enakomerno Cauchyjeva. To pomeni, da za vsak obstaja , da je za vsak in vsaka .
Za preverjanje enakomerne konvergence je znan Weierstrassov M-test. Naj bo zaporedje realnih funkcij na množici in naj bo zaporedje števil, tako da velja:
za vsak in vsak , konvergira.
Potem je vrsta enakomerno konvergentna na .
Glej tudi
potenčna vrsta Taylorjeva vrsta Fourierova vrsta binomska vrsta
Sklici
Viri
Kategorija:Infinitezimalni račun Kategorija:Matematična analiza