+Nekateri predmeti, ki jih proučuje linearna algebraVektor V tridimenzionalnem evklidskem prostoru te tri ravnine predstavljajo rešitve linearnih enačb, njihov presek pa skupek skupnih rešitev: v tem primeru ena točka. Modra črta je skupna rešitev dveh enačb.Linearne transformacijeSistemi linearnih enačbMatrikeLastne vrednosti in lastni vektorjiKvadrikiTenzorji Linearna algebra je matematična disciplina, ki se ukvarja s proučevanjem vektorjev, vektorskih prostorov (ali linearnih prostorov), linearnih transformacij in sistemov linearnih enačb. Konkretno upodobitev linearne algebre najdemo v analitični geometriji. Vektorski prostori so osrednja tema sodobne matematike; torej se linearna algebra na široko uporablja v abstraktni algebri in funkcionalni analizi. Zelo je uporabna tudi v naravoslovnih in družboslovnih znanostih.
Nanaša na linearne enačbe, kot so:
linearne transformacije, kot so:
in njihove predstavitve v vektorskih prostorih in skozi matrice.
Linearna algebra je osnova za skoraj vsa področja matematike. Na primer, linearna algebra je temeljna v sodobnih predstavitvah geometrije, vključno z definicijami osnovnih objektov, kot so črte, ravnine in rotacije. Tudi funkcionalno analizo, vejo matematične analize, lahko razumemo kot aplikacijo linearne algebre v prostorih funkcij.
Linearna algebra se uporablja tudi v velikem številu znanostih in področij tehnike, saj omogoča modeliranje številnih naravnih pojavov in učinkovito računanje s takšnimi modeli. Za nelinearne sisteme, ki jih ni mogoče modelirati z linearno algebro, se pogosto uporabljajo približki prvega reda.
Vektorski prostori
Do 19. stoletja je bila linearna algebra predstavljena s sistemi linearnih enačb in matrik. V sodobni matematiki se na splošno prednostno uporablja z vektorskimi prostori, ker je bolj aksiomatična, bolj splošna (ni omejena na končnorazsežne primere) in konceptualno enostavnejša, čeprav bolj abstraktna.
Vektorski prostor nad poljem (pogosto polje realnih števil) je množica opremljena z dvema binarnima operacijama, ki izpolnjujeta sledeče aksiome. Elementi se imenujejo vektorji, elementi F pa skalarji. Prva operacija, seštevanje vektorjev, vzame katera koli dva vektorja in in rezultat je tretji vektor . Druga operacija, skalarno množenje, vzame kateri koli skalar in kateri koli vektor in rezultat je nov . Aksiomi, ki jih morata zadovoljiti seštevanje in skalarno množenje, so navedeni spodaj. (Na spodnjem seznamu so in poljubni elementi , in sta poljubna skalarja v polju ) Aksiom Označevanje Asociativnost seštevanja Komutativnost seštevanja Identiteta seštevanja Obstaja element znotraj , imenovan ničelni vektor (ali preprosto nič), tako da za vse znotraj Inverzni elementi seštevanja Za vsak znotraj obstaja element znotraj , imenovan nasprotna vrednost od , tako da je Distributivnost skalarnega množenja glede na vektorsko seštevanje Distributivnost skalarnega množenja glede na seštevanje polj Združljivost skalarnega množenja z množenjem polja Identiteta skalarnega množenja , kjer označuje multiplikativno identiteto Prvi štirje aksiomi pomenijo, da je abelova grupa pri seštevanju.
Element določenega vektorskega prostora ima lahko različno naravo; lahko je na primer zaporedje, funkcija, polinom ali matrika. Linearna algebra se ukvarja s tistimi lastnostmi objektov, ki so skupni vsem vektorskim prostorom.
Linearne preslikave
Linearne preslikave so preslikave med vektorskimi prostori, ki ohranjajo strukturo vektorskega prostora. Če obstajata dva vektorska prostora in nad poljem , potem je linearna preslikava (v nekaterih kontekstih imenovana tudi linearna transformacija) preslikava
to je združljivo z seštevanjem in skalarnim množenjem, tj.
za vse vektorje znotraj in skalar znotraj
To pomeni, da za katerikoli vektorje znotraj in skalarje znotraj , ima eden
Kadar sta isti vektorski prostor, je linearna preslikava znan tudi kot linearni operator na
Bijektivna linearna preslikava med dvema vektorskima prostoroma (torej je vsak vektor iz drugega prostora povezan z natanko enim v prvem) je izomorfizem. Ker izomorfizem ohranja linearno strukturo, sta dva izomorfna vektorska prostora "v bistvu enaka" z vidika linearne algebre, v smislu, da ju z lastnostmi vektorskega prostora ni mogoče razlikovati. Bistveno vprašanje linearne algebre je preizkusiti, ali je linearna preslikava izomorfizem ali ne, in če ni izomorfizem, najti njegovo sliko in niz elementov, ki se preslikajo v ničelni vektor, imenovano jedro preslikave. Vsa ta vprašanja je mogoče rešiti z Gaussovo eliminacijo ali kakšno različico tega algoritma.
Podprostori, linearna ogrinjača in baze
Proučevanje tistih podskupin vektorskih prostorov, ki so sami po sebi vektorski prostori pri induciranih operacijah, je temeljno, podobno kot pri mnogih matematičnih strukturah. Te podskupine imenujemo linearni podprostori. Natančneje, linearni podprostor vektorskega prostora nad poljem je podmnožica od , tako da sta in v za vsak , znotraj in vsak znotraj . (Ti pogoji zadoščajo, da je vektorski prostor.)
Na primer, glede na linearno preslikavo , slika od in inverzna slika od 0 (imenovana jedro ali ničelni prostor) sta linearna podprostora od in
Drug pomemben način oblikovanja podprostora je obravnava linearnih kombinacij množice vektorjev: množice vseh vsot
kjer v in v tvorijo linearni podprostor, imenovan ogrinjača Ogrinjača je tudi presečišče vseh linearnih podprostorov, ki vsebujejo Z drugimi besedami, to je najmanjši (za vključitveno razmerje) linearni podprostor, ki vsebuje
Množica vektorjev je linearno neodvisna, če noben ni v ogrinjači drugih. Enako je množica vektorjev linearno neodvisna, če je edini način za izražanje ničelnega vektorja kot linearne kombinacije elementov vzemanje ničle za vsak koeficient
Niz vektorjev, ki obsega vektorski prostor, se imenuje linearna ogrinjača ali generator množic. Če je linearna ogrinjača linearno odvisen, potem je nek element od v ogrinjači drugih elementov od , in ogrinjača ostane enaka, če odstranimo iz . Z odstranjevanjem elementov lahko nadaljujemo, dokler ne dobimo linearno neodvisne linearne ogrinjače. Taka linearno neodvisna množica, ki obsega vektorski prostor , se imenuje baza . Če je linearno neodvisna množica in je linearna ogrinjača, tako da potem je baza takšna, da
Kateri koli dve bazi vektorskega prostora imata enako kardinalnost, ki se imenuje dimenzija ; to je dimenzijski izrek za vektorske prostore. Poleg tega sta dva vektorska prostora nad istim poljem izomorfna izključno takrat, ko imata enako dimenzijo.
Če ima katera koli baza (in zato vsaka baza) končno število elementov, je končnorazsežni vektorski prostor. Če je podprostor od , potem je V primeru, ko je končnorazsežni, enakosti dimenzij implicira
Če sta U1 in U2 podprostora od V, potem
Matrike
Matrike omogočajo eksplicitno manipulacijo s končnorazsežnimi vektorskimi prostori in linearnimi transformacijami. Njihova teorija je tako bistven del linearne algebre.
Naj bo končnrazsežnini vektorski prostor nad poljem , in je baza (torej je dimenzija ). Po definiciji baze je transformacija
je bijekcija iz množica zaporedij elementov od na To je izomorfizem vektorskih prostorov, če ima svojo standardno strukturo vektorskega prostora, kjer se vektorsko seštevanje in skalarno množenje izvajata po komponentah.
Ta izomorfizem omogoča predstavljanje vektorja z njegovo inverzno podobo pod tem izomorfizmom, to je s koordinatami vektorjev ali po stolpcu matrike.
Če je še en končnorazsežni vektorski prostor (po možnosti enak) z bazo linearno transformacijo od do je dobro opredeljen z vrednostmi na baznih elementih, tj Tako je dobro predstavljen s seznamom ustreznih stolpcev matrike. Se pravi, če
za , potem je predstavljeno z matriko
z vrsticami in stolpci.
Linearni sistemi
Končna množica linearnih enačb v končni množici spremenljivk, na primer: ali se imenuje sistem linearnih enačb ali linearni sistem.
Sistemi linearnih enačb so temeljni del linearne algebre. V preteklosti so se za reševanje takih sistemov uporabljale linearna algebra in teorija matrik. V sodobni predstavitvi linearne algebre s pomočjo vektorskih prostorov in matrik je mogoče številne probleme razložiti z linearnimi sistemi.
Na primer, naj bolinearni sistem.
Takšnemu sistemu se lahko poveže njegova matrika
in njegov desni vektor
Naj bo linearna transformacija povezana z matriko Rešitev sistema () je vektor
tako, da je
ki je element predslika od v z
Naj bo () pridruženi homogeni sistem, kjer so desne strani enačb postavljene na nič:Rešitve () so elementi jedra ali, enako,
Gaussova eleminacija je sestavljena iz izvajanja elementarnih vrstičnih operacij na razširjeni matriki
za postavitev v vrstični kanonični formi. Te vrstične operacije ne spremenijo nabora rešitev sistema enačb. V zgledu, vrstična kanonična forma
prikazuje, da ima sistem () eno rešitev
Iz te matrične interpretacije linearnih sistemov izhaja, da se iste metode lahko uporabijo za reševanje linearnih sistemov in za številne operacije na matrikah in linearnih transformacijah, ki vključujejo izračun rangov, jeder, obrnljive matrike.
Glej tudi Linearna ogrinjača Linearna regresija, statistična metoda ocenjevanja Numerična linearna algebra Linearno programiranje Matrika preslikave
Opombe
Sklici
Viri
Zunanje povezave
Spletni viri Video predavanja linearne algebre MIT, serija 34 posnetih predavanj profesorja Gilberta Stranga (pomlad 2010) Mednarodno društvo linearne algebre
Linearna algebra na MathWorld Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols Bistvo linearne algebre, video predstavitev 3Blue1Brown o osnovah linearne algebre s poudarkom na razmerju med geometrijskim, matričnim in abstraktnim stališčem
Spletne knjige
9781616100049
Sharipov, Ruslan, Tečaj linearne algebre in večdimenzionalne geometrije Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong
Kategorija:Numerična analiza * Kategorija:Algebra Kategorija:Strani z nepregledanimi prevodi