Fraktal je geometrijski objekt, katerega Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost (δ) strogo presega svojo topološko razsežnost.Falconer (2003). Tu je predstavljeno nekaj fraktalov, razvrščenih po naraščajoči Hausdorff-Bezikovičevi razsežnosti z namenom ponazoritve kaj pomeni da ima fraktal majhno ali veliko razsežnost.

Deterministični fraktali

δ(točna vrednost) δ(vrednost) ime prikaz opombe 0.4498? bifurkacije logistične preslikave 150px V bifurkacijskem grafu se pri približevanju kaotičnega področja pojavijo zaporedne podvojitve period, kjer geometrično zaporedje teži k 1/δ. (δ=4,6692, prva Feigenbaumova konstanta). 0.6309 Cantorjeva množica 200px Ustvarjena z odstranjevanjem tretjine v vsaki ponovitvi. Nikjer gosta in neštevna množica. 0.88137 spekter Fibonaccijevega hamiltonskega sistema Spekter konvergira k eksplicitni konstanti.Fractal dimension of the spectrum of the Fibonacci Hamiltonian 1 Smith-Volterra-Cantorjeva množica 150px Ustvarjena z odstranitvijo sredinskega intervala dolžine 1/2^{2n} za vsak preostal interval n-te ponovitve. Nikjer gosta množica, a z Lebesguovo mero ½. 1.0686 obris Gosperjevega otoka 100px izmerjeno (škatlično štetje) 1.2 vejasta Juliajeva množica 150px Juliajeva množica s parametroma: Realni del=0 in Imaginarni del=1. 1.2083 Fibonaccijev fraktal 60° 200px Ustvarjena iz Fibonaccijeve besede. Glej tudi standardni Fibonaccijev fraktal. 1.26 Hénonova preslikava 100px Kanonična Hénonova preslikava s parametroma a = 1,4 in b = 0,3 ima Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 1,261 ± 0,003. Različni parametri dajo različne vrednosti δ. 1.2619 Kochova krivulja 200px Tri von Kochove krivulje tvorijo Kochovo snežinko, oziroma antisnežinko. 1.2619 obris trojne zmajeve krivulje 150px L-sistem: enak kot zmajeva krivulja s kotom =30°. The Fudgeflake (zmečkana snežinka) temelji na 3 začetnih točkah, postavljenih v trikotnik. 1.2619 dvorazsežni Cantorjev prah 100px Dvorazsežna Cantorjeva množica. izračunano 1.2683 Juliajeva množica z²-1 200px Juliajeva množica za c=-1. fractal dimension of the z²-1 Julia set 1.3057 Apolonijeva mreža 100px Tudi »Apolonijevo tesnilo«. izračunano 1.3934 Douadyjev zajec 150px Juliajeva množica za c=-0,123+0.745i. fractal dimension of the Douady rabbit 1.4649 škatelni fraktal 100px Ustvarjena z izmenjajočim ponavljanjem kvadratov križa iz petih kvadrat(k)ov. 1.4649 kvadratna Kochova krivulja (tip 1)150px Vzorec škatelnega fraktala (zgoraj). 1.5000 kvadratna Kochova krivulja (tip 2) 150px Imenovana tudi »klobasa Minkovskega«. 1.5236 obris zmajeve krivulje 150px Cf Chang & Zhang. Fractal dimension of the boundary of the dragon fractal 1.5850 trovejno drevo 110px110px Vsaka veja drži 3 veje. (tukaj 90° in 60°). Razsežnost fraktala celotnega drevesa je fraktalna razsežnost zadnje veje. Toda: drevo z dvema vejama ima fraktalno razsežnost 1. 1.5850 trikotnik Sierpinskega 100px Tudi Pascalov trikotnik modulo 2. 1.5850 puščična krivulja Sierpinskega 100px Ustvarjena z enorazsežno krivuljo. 1.6309 Pascalov trikotnik modulo 3 150px Za trikotnik modulo k, kjer je k praštevilo, je fraktalna razsežnost (Cf Stephen Wolfram) 1.6379 Fibonaccijev fraktal 150px Fraktal iz Fibonaccijeve besede . Ilustracija: fraktal po F23 (28657) korakih. Fibonacci word or rabbit sequence Sloane A005614 at the EOIS. 1.6826 Pascalov trikotnik modulo 5 150px Za trikotnik modulo k, kjer je k praštevilo, je fraktalna razsežnost (Cf Stephen Wolfram) 1.7227 vetrnični fraktal 150px Grajen na podlagi Conway-Radinovega vetrničnega pokritja. 1.7712 snežinka šestkotnikov 100px Ustvarjena z izmenjujočim ponavljanjem 7 šestkotnikov. Njena meja je Kochova snežinka. Vsebuje neskončno Kochovih snežink.log(7) / log(3)1.7712Fractal H-I de Rivera 1.7848 Kochova krivulja 85°, Cesarejev fraktal 150px Izhaja iz Kochove krivulje s kotom med 0 in 90°. Fraktalna razsežnost: . Cesarejev fraktal izhaja iz tega vzorca. 1.8617 snežinka petkotnikov 100px Ustvarjena z izmenjujočim ponavljanjem 6 petkotnikov. = zlati rez = 1.8928 preproga Sierpinskega 100px 1.8928 trirazsežni Cantorjev prah 100px Trorazsežna Cantorjeva množica. kartezični produkt Kochove krivulje in Cantorjeve množice 150px Posplošitev: Naj je F×G kartezični produkt dve fraktalnih množic F ind G. Potem velja .. Glej tudi dvorazsežni Cantorjev prah in Cantorjeva kocka.ocenjeno 1.9340 obris Lévyjeve C-krivulje 100px Ocena Duvalla in Keeslinga (1999). Krivulja ima fraktalno razsežnost 2. 1.974 Penroseovo pokritje 100px See Ramachandrarao, Sinha & SanyalFractal dimension of a penrose tiling 2 Mandelbrotova množica 100px Vsaka ravnina predmeta, ki vsebuje disk, ima Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 2. Toda tudi meja Mandelbrotove množice ima tudi Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 2. 2 Juliajeva množica 150px za določene vrednosti c (vključno s c na meji Mandelbrotove množice), ima Juliajeva množica fraktalno razsežnosz 2. Fractal dimension of certain Julia sets. 2 krivulja Sierpinskega 100px Vsaka Peanova krivulja, ki zapolni ravnino, ima Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 2. 2 Hilbertova krivulja 100px Na podoben način: Moorova krivulja. Se lahko razširi v tri razsežnosti. 2 Peanova krivulja 100px Družina krivulj, ustvarjeni na podoben način, kot npr. Wunderlichove krivulje. 2 Moorova krivulja 100px Se lahko razširi v tri razsežnosti. 2 Lebesguova krivulja ali krivulja reda z 100px Drugače kot prejšnje je ta krivulja, ki lahko zapolni prostor, odvedljiva praktično povsod. Prav tak tip krivulje lahko določimo v dveh razsežnostih. Kot Hilbertova krivulja se lahko razširi v tri razsežnosti.Lebesgue curve variants 2 zmajeva krivulja 150px Njene meje imajo fraktalno razsežnost 1.5236. 2 trojna zmajeva krivulja 150px L-System: F-> F+F-F. kot=120°. 2 T-kvadrat 100px 2 Gosperjeva krivulja 100px Njena meja je Gosperjev otok. 2 tetraeder Sierpinskega 80px Vsak tetraeder nadomestimo s 4 tetraedri. 2 H-drevo 150px Tudi »H-fraktal« in »Mandelbrotovo drevo«, ki ima enak vzorec. Pitagorovo drevo 150px Vsak kvadrat generira 2 kvadrata, pomanjšana za faktor . 2 dvorazsežni grški križ 127px Vsak del nadomestimo s kržem iz 4 delov. 2.06 Lorenzev atraktor 100px Za točne vrednosti parametrov. 2.3296 dodekaederski fraktal 100px Vsak dodekakeder (dvanajsterec, pravilno telo, ki ga omejuje 12 pravilnih peterokotnikov) nadomestimo z 20 dodekaedri. 2.3347 trirazsežna kvadradna Kochova ploskev (tipa 1) 150px Razširitev kvadratne Kochove krivulje tipa 1 v tri razsežnosti. Slika prikazuje drugo ponovitev. 2.4739 Apollonijevo pakiranje krogel 100px The interstice left by the apollolian spheres. Apollonian gasket in 3D. Dimension calculated by M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert.Fractal dimension of the apollonian sphere packing 2.50 trirazsežna Kochova ploskev (tipa 2) 150px Razširitev kvadratne Kochove krivulje (tipa 2) v tri razsežnosti. Slika prikazuje prvo ponovitev. 2.5237 Cantorjev teserakt Cantorejeva množica v štirih razsežnostih. Posplošitev: v prostoru z razsežnostjo n, ima Cantorjeva množica Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost 2.5819 ikozaedrski fraktal 100px Vsak ikozaeder nadomestimo z 12 ikozaedri. 2.5849 trirazsežni grški križ 200px Each segment is replaced by a cross formed by 6 segments. 2.5849 oktaedrski fraktal 100px Vsak oktaeder nadomestimo s 6 oktaedri. 2.5849 Kochova ploskev 150px vsak enakostranični trikotnik zamenjamo s 6 dvakrat manjšimi trikotniki. 2.7268 Mengerjeva spužva 100px Njena površina ima fraktalno razsežnost . 3 trirazsežna Hilbertova krivulja 100px Hilbertova krivulja razširjena v tri razsežnosti. 3 trirazsežna Lebesguova krivulja 100px Lebesguova krivulja razširjena v tri razsežnosti. 3 trirazsežna Moorova krivulja 100px Moorova krivulja razširjena v tri razsežnosti.

Naključni in naravni fraktali

δ(točna vrednost) δ(vrednost) ime prikaz opombe izmerjeno 1.22 ± 0.02 obris obale Irske 100px Vrednosti fraktalne razsežnosti celotne irske obale so določili McCartney, Abernethy in Gault. na Univerzi Ulstra in študentje teoretične fizike na Kolidžu Trinity v Dublinu pod vodstvom S. Hutzlerja.. Med neravno zahodno obalo (fraktalna razsežnost je približno 1,26) in veliko gladkejšo vzhodno obalo (fraktalna razsežnost je 1,10) je precejšnja razlika. izmerjeno 1.24 obris obale Velike Britanije 100px 1.33 obris Brownovega gibanja 150px (Cf Wendelin Werner). 1.33 dvorazsežni polimer Similar to the brownian motion in 2D with non self-intersection.Sapoval (2001). 1.33 Percolation front in 2D, Corrosion front in 2D 150px Fractal dimension of the percolation-by-invasion front, at the percolation threshold (59.3%). It’s also the fractal dimension of a stopped corrosion front. 1.40 Clusters of clusters 2D When limited by diffusion, clusters combine progressively to a unique cluster of dimension 1.4. izmerjeno 1.52 obris obale Norveške 100px izmerjeno 1.55 naključni sprehod brez sekanj 150px Self-avoiding random walk in a square lattice, with a « go-back » routine for avoiding dead ends. 1.66 trirazsežni polimer Similar to the brownian motion in a cubic lattice, but without self-intersection. 1.70 2D DLA Cluster 150px In 2 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 1.70. 1.8958 2D Percolation cluster 150px Under the percolation threshold (59.3%) the percolation-by-invasion cluster has a fractal dimension of 91/48."Applications of percolation" theory by Muhammad Sahimi (1994) Beyond that threshold, le cluster is infinite and 91/48 becomes the fractal dimension of the « clearings ». 2 Brownovo gibanje 150px Or random walk. The Hausdorff dimensions equals 2 in 2D, in 3D and in all greater dimensions (K.Falconer "The geometry of fractal sets"). izmerjeno približno 2 porazdelitev galaktičnih jat 100px Iz rezultatov pregleda SDSS leta 2005. 2.33 površina cvetače 100px Every branch carries around 13 branches 3 times smaller. 2.5 klobčiči zmečkanega papirja 100px When crumpling sheets of different sizes but made of the same type of paper and with the same aspect ratio (for example, different sizes in the ISO 216 A series), then the diameter of the balls so obtained elevated to a non-integer exponent between 2 and 3 will be approximately proportional to the area of the sheets from which the balls have been made. Creases will form at all size scales (see Universality (dynamical systems)). 2.50 Lichtenbergova figura 100px In 3 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 2.50. 2.5 pravilna Brownova ploskev 150px . 2.50 3D DLA Cluster In 3 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 2.50. izmerjeno 2.52 trirazsežni ponikalni oblak 225px izmerjeno 2.66 brstnati ohrovt 100px Fractal dimension of the broccoli 2.79 površina skorje človeških možgan 100px Fractal dimension of the surface of the human brain 2.97 površina človeških pljuč 100px The alveoli of a lung form a fractal surface close to 3. izračunano 3 kvantna struna, ki se kopiči naključno 100px Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost kvantne strune, katere reprezentativna točka se naključno kopičiti skozi zančni prostor.

Glej tudi

fraktalna razsežnost

Sklici

Viri

1

Zunanje povezave

Fraktali na Mathworld Drugi fraktali na spletni strani Paula Bourkeja Solerjeva galerija Fraktali na mathcurve.com 1000fractales.free.fr - Projekt zbiranja fraktalov tvorjenih z različnimi programji Fractals unleashed

Kategorija:Fraktali Kategorija:Fraktalne krivulje