thumb|right|200px|Grafa funkcij in v intervalu [0,1]
Sánje nèzrélega je v matematiki občasni naziv za enakosti (OEIS , ):
ki ju je leta 1697 odkril Johann Bernoulli.
Ime "sanje nezrelega", ki se pojavi v je podobno imenu "sanje začetnika", ki se nanaša na nepravilnoNa splošno nepravilno, ampak pravilno, ko se dela v komutativnem kolobarju praštevilskih karakteristik p kjer je n potenca števila p. Pravilni rezultat v splošnem komutativnem kontekstu je podana z binomskim izrekom identiteto . Sanje nezrelega imajo podoben predobro-da-bi-bilo-res občutek, ampak velja.
Dokaz
Dokaže se druga enakost. Dokaz za prvo je popolnoma enak.
Dokaz poteka po korakih: zapiše se xx = exp(x ln x), exp(x ln x) se razvije s potenčno vrsto za exp, integrira se členoma, integrira se z vpeljavo spremenljivke.
xx se razvije kot:
Vrsta se členoma integrira:
Izračunajo se členi z integracijo po delih. Najprej se integrira člen z uvedbo spremenljivke , kjer je . Tako sledi:
in naprej:
kjer je Pochhammerjev simbol za padajočo fakulteto.
V tem primeru je m = n in obe števili sta celi, tako da je:
Z integracijo od 0 do 1, izginejo vsi členi razen zadnjega pri 1 (vsi členi so v 0 enaki nič, ker je po l'Hôpitalovem pravilu, in vsi členi razen zadnjega so v 1 enaki nič, ker je ), tako da sledi:
Enačba sledi, če se dvigne indeks na .
Verižna ulomka
Neskončna verižna ulomka za številske vrednosti enakosti sta (OEIS , ):
Opombe
Zunanje povezave
Kategorija:Infinitezimalni račun Kategorija:1697 v znanosti