Mercatorjeva vŕsta ali Newton-Mercatorjeva vŕsta [njúton-merkátorjeva ~] je v matematiki Taylorjeva vrsta za naravni logaritem. Dana je z:
za . Za kompleksne vrednosti x enolično konvergira k glavni vrednosti kompleksnega logaritma za vse x v odprtem enotskem disku.
Zgodovina
Vrsto so neodvisno odkrili Nicholas Mercator, Isaac Newton in Grégoire de Saint-Vincent. Prvi jo je objavil Mercator v svoji razpravi Logarithmo-technica iz leta 1668.
Izpeljava thumb|right|250px|Taylorjevi polinomi za (1+x) so točni v območju -1 < x ≤ 1. Za x > 1 so Taylorjevi polinomi višje stopnje slabši približki
Vrsto se lahko izpelje s ponavljajočim odvajanjem naravnega logaritma. Odvod je:
Lahko se začne tudi z geometrično vrsto ()
ki da:
Sledi:
in z integracijo po členih:
Če je , je člen ostanka enak nič pri .
Posebni primeri
Pri je Mercatorjeva vrsta alternirajoča harmonična vrsta:
kjer je Dirichletova funkcija η.
Viri
Kategorija:Matematične vrste Kategorija:Logaritmi Kategorija:1668 v znanosti