thumb|Polarni koordinatni sistem thumb|Dve točki podani s polarnimi koordinatami thumb|Pretvorba koordinat
Polárni koordinátni sistém je ravninski koordinatni sistem, ki se ga uporablja v matematiki, fiziki, astronomiji in nekatrih drugih vedah. Uporabljamo ga kot alternativo kartezičnemu koordinatnemu sistemu. Polarni koordiantni sistem je tudi osnova za dva koordinatna sistema v prostoru: cilindrični in sferni koordinatni sistem.
Točko v polarnem koordinatnem sistemu podamo z dvema številoma, ki ju imenujemo polarni koordinati:
prva koordinata točke je radij (točke oddaljenost od izhodišča) - po navadi ga označimo s črko r, včasih pa tudi z ρ. Radij je praviloma večji od 0, le v izhodišču je r = 0. druga koordinata točke je polarni kot - označimo ga s črko φ ali θ. To je kot, ki ga določa točka glede na desni del vodoravne osi. Polarni kot je pozitiven, če ga merimo v matematično pozitivni smeri (v obratni smeri urinih kazalcev), in negativen, če ga merimo v matematično negativni smeri (v smeri urinih kazalcev). Polarni kot se po navadi podaja na intervalu [0°,360°] ali pa na intervalu (-180°,180°]. Pogosto se ga podaja tudi v radianih.
Pretvorba koordinat
Če poznamo polarni koordinati točke, lahko izračunamo njeni kartezični koordinati x in y z zvezama:
Če poznamo kartezični koordinati, pa lahko dobimo polarni koordinati s pomočjo enačb:
Iz spodnje enačbe dobimo polarni kot φ s pomočjo funkcije arkus tangens - pri tem moramo paziti na pravilno izbiro vrednosti kota (po potrebi moramo prišteti +180°). Večina sodobnih kalkulatorjev ima že vgrajeno pretvorbo koordinat, ki avtomatično izračuna pravilni kot: tipka R→P pomeni pretvorbo iz pravokotnih v polarne koordinate (angleško Rectangular → Polar), tipka P→R pa obratno.
Polarne koordinate vektorjev
Tudi ravninske vektorje lahko podajamo s polarnimi koordinatami. Pri tem r pomeni dolžino vektorja, φ pa njegovo smer (smerni kot).
Vektor, ki ima dolžino r in smerni kot φ, lahko zapišemo s kartezičnimi koordinatami kot:
Polarne koordinate kompleksnih števil
Kompleksno število z = x + iy geometrijsko predstavimo s točko v ravnini. Če to točko opišemo s polarnima koordiantama, lahko rečemo, da smo kompleksnemu številu priredili polarni koordinati. Polarna koordinata r pri tem pomeni absolutno vrednost kompleksnega števila z. Polarno koordinato φ pri kompleksnih številih imenujemo tudi argument števila z in ga praviloma podajamo v radianih.
Kompleksno število, ki ima absolutno vrednost r in argument (polarni kot) φ, je torej enako:
Če upoštevamo Eulerjevo enačbo lahko to pišemo tudi kot:
Polarne koordinate so povezane z množenjem in deljenjem kompleksnih števil:
Pri množenju dveh kompleksnih števil se obe absolutni vrednosti zmnožita, polarna kota pa se seštejeta. Pri deljenju dveh kompleksnih števil se obe absolutni vrednosti delita, polarna kota pa se odštejeta.
Kategorija:Koordinatni sistem