Metóda navádne iterácije (navádna iterácijska metóda in redkeje metóda negíbne tóčke) je v matematiki preprosta in učinkovita numerična metoda za določanje negibnih točk funkcije. Negibna (fiksna) točka funkcije g je točka, v kateri je vrednost funkcije enaka podatku, torej:
Potek postopka
Enačbo oblike x = g(x) rešimo po metodi navadne iteracije z naslednjim postopkom:
Najprej si izberemo začetni približek . Ta približek vstavimo v funkcijo in dobimo naslednji približek . Na enak način izračunamo še nadaljnje približke: . Postopek končamo, ko smo zadovoljni z natančnostjo dobljenega približka.
Tako dobljeno zaporedje približkov konvergira k fiksni točki, če je v neki okolici fiksne točke odvod funkcije g po absolutni vrednosti manjši od 1 in če začetni približek leži v tej okolici.
Zgled
Rešimo enačbo (kjer je x kot v radianih). Ker odvod funkcije po absolutni vrednosti nikoli ni večji od 1, je izbira začetnega približka precej poljubna. Izberimo npr. začetni približek 1. Po večkratnem izvajanju funkcije kosinus dobimo naslednje približke:
Vidimo, da se razlika med zaporednima približkoma manjša, kar je znak, da zaporedje konvergira. Po večjem številu korakov dobimo približek:
Iz tega sklepamo, da so prve tri decimalke pravilne rešitve enake . Če želimo izračunati rešitev na več decimalk natančno, postopek nadaljujemo.
Drugi načini uporabe Iskanje ničel funkcije
Metodo navadne iteracije lahko uporabimo za iskanje ničel poljubne funkcije f, če enačbo f(x) = 0 najprej preoblikujemo v obliko x = g(x). To je po navadi možno na več načinov, vendar pa vsa preoblikovanja niso enako uspešna.
Zgled: Poiščimo ničle polinoma . Polinom lahko preoblikujemo po naslednejm postopku:
V dobljeno iteracijsko funkcijo vstavljamo različne začetne približke in opazimo, da dobljeno zaporedje nikoli ne konvergira. Isti polinom lahko preoblikujemo tudi drugače:
Tako dobljena iteracijska funkcija : je uspešnejša. Pri različnih izbirah začetneg približka dobimo že po nekaj korakih ničlo na več decimalk natančno:
Reševanje enačbe oblike h(x) = k(x)
Splošno enačbo oblike h(x) = k(x) lahko preoblikujemo z uporabo inverza funkcije h ali k (če obstajata). Tako dobimo dve obliki:
Praviloma vsaj ena od teh dveh metod (ob izbiri primernega začetnega približka) vodi k rešitvi.
Glej tudi
metoda pospešene iteracije (Newtonova ali tangentna metoda)
Viri
Kategorija:Numerična analiza