thumb|200px|Vrtenje thumb|100px|Zrcaljenje thumb|250px|Inverzija thumb|200px|Kombinacija rotacije 2. reda, inverzije in zrcaljenja
Kristalografska točkovna skupina je niz simetrijskih operacij, na primer rotacij in zrcaljenj, v katerih ostane pri premiku vsakega atoma kristala na položaj drugega istovrstnega atoma točka, okoli katere poteče operacija, fiksna. To pomeni, da bi neskončen kristal pred operacijo in po operaciji v svoji točkovni skupini izgledal popolnoma enako. V klasifikaciji kristalov vsaka točkovna skupina ustreza kristalnemu razredu.
Število točkovnih skupin v treh razsežnostih je teoretično neomejeno, v kristalografiji pa je njihovo število omejeno na 32, ker morajo biti združljive z diskretno translacijsko simetrijo kristalne mreže. 32 točkovnih skupin je leta 1830 odkril Johann Friedrich Christian Hessel z opazovanjem zunanjih oblik kristalov.
Točkovna skupina kristala med drugim določa tudi nekatere njegove optične lastnosti, na primer dvolomnost in Pockelsov efekt.
Označevanje Točkovne skupine so opisane s komponentami njihovih simetrij. Na razpolago je nekaj standardiziranih načinov označevanja, ki jih uporabljajo kristalografi, mineralogi in fiziki.
Schönfliesova notacija
V Schönfliesovi notaciji so točkovne skupine označene s črkami in indeksi. Simboli, ki se uporabljajo v kristalografiji, imajo naslednje pomene: Črka O (oktaeder) pomeni, da ima skupina simetrijo oktaedra (ali kocke) z inverznimi osmi simetrije (Oh) ali brez njih (O). Črka T (tetraeder) označuje skupino, ki ima simetrijo tetraedra. Td vključuje inverzne osi, T jih izključuje, Th pa predstavlja T s centrom simetrije. Cn (cikličen) označuje skupino z n-števno osjo simetrije. Cnh je Cn z ravnino simetrije, pravokotno na os simetrije. Cnv je Cn z ravninami simetrije, vzporednimi z osjo simetrije. Sn (iz nemškega Spiegl, zrcalo) označuje skupino, ki ima samo n-števno os simetrije in nanjo pravokotno ravnino simetrije. Dn (dvoštevno) označuje skupino z n-števno osjo simetrije in dvoštevnimi osmi, pravokotnimi nanjo. Dnh ima tudi ravnino simetrije, pravokotno na n-števno os. Dnv ima poleg elementov Dn še ravnine simetrije, vzporedne z n-števno osjo.Meta Dobnikar: Kristalografija
V dvorazsežnem in trorazsežnem prostoru je n zaradi kristalografskega restrikcijskega teorema omejen na vrednosti 1, 2, 3, 4 ali 6.
n 1 2 3 4 6 Cn C1 C2 C3 C4 C6 Cnv C1v=C1h C2v C3v C4v C6v Cnh C1h C2h C3h C4h C6h Dn D1=C2 D2 D3 D4 D6 Dnh D1h=C2v D2h D3h D4h D6h Dnd D1d=C2h D2d D3d D4d D6d Sn S1=C1h S2 S3=C3h S4 S6
Skupini D4d in D6d sta nedopustni, ker vsebujeta nepravi rotaciji z n=8 oziroma 12. 27 točkovnih skupin iz zgornje preglednice ter T, Td, Th, O in Oh da skupno 32 kristalografskih točkovnih skupin.
Hermann-Mauguinova notacija
Za opis kristalografskih točkovnih skupin se občajno uporablja skrajšana oblika Hermann-Mauguinovega zapisa, v katerem imajo skupine naslednje oznake:
1, 1 2, m, 2⁄m 222, mm2, mmm 4,4, 4⁄m, 422, 4mm, 42m, 4⁄mmm 3, 3, 32, 3m, 3m 6, 6, 6⁄m, 622, 6mm, 62m, 6⁄mmm 23, m3, 432, 43m, m3m
Notacija orbifold
V geometriji je notacija orbifold sistem, ki ga je populariziral John Horton Conway za opis simetrijskih grup v dvorazsežnih prostorih s konstantno ukrivljenostjo. Notacija ima to prednost, da opiše grupe na način, ki prikaže mnogo lastnosti grupe, še posebno orbifold, ki je kvocient evklidskega prostora in opazovane grupe.
Z notacijo orbifold se lahko prikaže tudi ravninske in linearne simetrijske grupe na evklidski ravnini (E2), grupe na sferi (S2) in njihove analoge na hiperbolični ravnini (H2).
Ekvivalentne oznake vseh treh notacij in imena kristalografskih točkovnih skupin so prikazane v naslednji preglednici:
Hermann-Mauguin Schoenflies Orbifold Ime 1 C1 11 hemipinakoidna 2 C2 22 hemiprizmatska osna 222 D2 222 rombosfenoedrična 4 C4 44 tetragonalna piramidna 3 C3 33 trigonalna piramidna 6 C6 66 heksagonalna piramidna 23 T 332 tetartoedrična 1 S2 1x pinakoidna m C1h 1* hemiprizmatska brezosna mm2 C2v *22 rombopiramidna 2 S4 2x tetragonalna sfenoedrična 3 S6 3x romboedrična 6 C3h 3* trigonalna bipiramidna m3 Th 3*2 didodekaedrična 2/m C2h 2* prizmatska mmm D2h *222 rombobipiramidna 4/m C4h 4* tetragonalna bipiramidna 32 D3 223 trigonalna trapezoerdična 6/m C6h 6* heksagonalna bipiramidna 432 O 432 gigoedrična 422 D4 224 tetragonalna trapezoedrična 3m C3v *33 ditrigonalna piramidna 622 D6 226 heksagonalna trapezoedrična 43m Td *332 heksakistetraedrična4mm C4v *44 ditetragonalna piramidna 3m D3d 2*3 ditrigonalna skalenoedrična 6mm C6v *66 diheksagonalna piramidna m3m Oh *432 heksakisoktaedrična 42m D2d 2*2 tetragonalna skalenoedrična 62m D3h *223 titrigonalna bipiramidna 4/m mm D4h *224 ditetragonalna bipiramidna 6/m mm D6h *226 diheksagonalna bipiramidna
Sklici
Zunanje povezave Slikovni prikaz 32 točkovnih grup
Kategorija:Kristalografija