Determinanta je preslikava, ki kvadratni matriki priredi število. Vsaki determinanti pripada število(ki ga lahko izračunamo iz elementov), matriki pa ne moremo pripisati nekega števila. Posameznim vrednostim (lahko so realne ali kompleksne) v determinanti pravimo elementi determinante. V matriki in v determinanti so posamezni elementi razporejeni v vrstice (vodoravno) in stolpce (navpično).
Determinanto označujemo z dvema navpičnima črtama med kateri podobno kot pri matriki vpišemo elemente v vrstice in stolpce.
Vsaki determinanti lahko pripišemo tudi red, ki je enak razsežnosti pripadajoče matrike. Tako matriki reda 2 lahko pripišemo determinanto reda 2 (običajno to zapišemo kot ) in tako naprej (primer za splošno obliko uporabimo ).
Determinanto matrike označujemo kot ali poenostavljeno tudi . Kadar pa hočemo vpisati vse elemente determinante, lahko označimo determinanto z dvema navpičnima črtama, pripadajočo matriko pa označujemo z oglatima oklepajema.
Tako determinanta tretjega reda
pripada matriki (tretjega reda)
Splošno obliko determinante pa zapišemo kot
kjer je z označen element v vrstici x in stolpcu y.
Zgodovina
thumb|250px|Takakazu Šinsuke Seki je determinante tretjega in četrtega reda uvedel v istem obdobju kot Gottfried Wilhelm Leibniz 250px|right|thumb|Gottfried Wilhelm Leibniz Determinante so se pojavile v 16. stoletju, kar je precej pred pojavom matrik v 19. soletju. Prva uporaba determinant je povezana s sistemom linearnih enečb. Vpeljal jih je italijanski matematik, astronom, zdravnik, filozof, fizik, astrolog in kockar Gerolamo Cardano (1501 – 1576) v letu 1545. Uporabljal je determinante drugega reda za določanje rešitev sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Približno ob istem času sta jih pričela uporablajti tudi japonski matematik Takakazu Šinsuke Seki (znan tudi kot Kova Seki) in nemški filozof, matematik, fizik, pravnik, zgodovinar, jezikoslovec, knjižničar in diplomat Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Izraz determinanta je prvi uporabil francoski matematik Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857).
Določanje vrednosti determinant
Determinanta 2 x 2 Matriki
pripada determinanta .
thumb|left|Ploščina paralelograma je absolutna vrednost determinante matrike, ki jo dajo vektorji, ki predstavljajo stranice paralelograma.
Površina paralelograma Matrika 2x2
ima determinanto .
Determinanto lahko gledamo kot paralelogram z vrhovi na točkah , , in .
300px|left|thumb|Prostornina paralelepipeda je absolutna vrednost determinante matrike s stranicami r1, r2, in r3. Determinanta 3 x 3 Matrika
ima determinanto, ki se izračuna kot
Vrednost determinante lahko določimo s pomočjo Sarrusovega pravila.
Lastnosti determinant
Determinanta trikotne matrike je
To je zmnožek vseh elementov v diagonali matrike.
Kadar je matrika nastala iz matrike z zamenjavo dveh vrstic ali stolpcev, velja
Kadar je matrika nastala iz matrike tako, da smo pomnožili vse elemente v vrstici ali vse elemente v stolpcu s konstanto velja
Kadar pa je matrika pomnožena s skalarjem
Kadar je matrika nastala iz matrike tako, da smo dodali s konstanto pomnoženo vrstico ali stolpec drugi vrstici ali stolpcu je:
Determinanta reda 1 vsebuje samo en element. Takšna determinanta ima vrednost
Determinanta (reda 2) se izračuna kot
Determinanta višjih redov (npr. reda ) pa običajno določamo z uporabo Laplaceovega obrazca z razvojem po vrstici ali razvojem po stolpcu (glej Določanje vrednosti splošne determinante spodaj).
Določanje vrednosti splošne determinante
Za izračunavanje vrednosti determinante uporabljamo Laplaceov obrazec, ki je primeren za računanje vrednosti determinant višjih redov. Determinanto lahko razvijemo po poljubni vrstici ali poljubnem stolpcu.
Razvoj determinante po j-ti vrstici (za vse j od 1 do n) Razvoj po i-tem stolpcu (za vse i od 1 do n) kjer je podteterminanta elementa podteterminanta elementa Poddeterminanto (tudi minor) (), ki pripada elementu dobimo tako, da v matriki izbrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec. Zmnožek se imenuje tudi kofaktor elementa . Razvoj determinanteje skalarni produkt elementov vrstice ali stolpca s pripadajočimi kofaktorji.
Ostale lastnosti
Determinanta
Ima vrednost 1 tudi, ko je n= 0 in celo, če je matrika prazna
Determinanta zmnožka dveh kvadratnih matrik je enaka zmnožku determinant posameznih matrik
Kadar vrednost determinante, ki pripada matriki ni enaka 0, velja tudi
Če sta matriki A in B podobni matriki in če obstoja takšna obratna matrika (nesingularna) matrika za katero velja potem je
Matrika in njena transponirana matrika imata enako vrednost pripadajoče determinante:
Determinanta in matrike
Kadar so , , matrike, ki imajo po vrsti razsežnosti , , in , potem je:
Kadar obstoja obratna matrika matrike velja tudi
Kadar pa obstoja obratna matrika matrike , pa velja Priročnik za matrike Velja tudi naslednje:Dokazi so dani na http://www.mth.kcl.ac.uk/~jrs/gazette/blocks.pdf
Kadar matriki in komutirata (to je ), je
Kadar matriki in komutirata (to je , je tudi
Kadar matriki in komutirata (to je , je tudi .
Odnos do sledi
Sled je vsota elementov matrike na diagonali. S tem je sled enaka tudi lastnim vrednostim
kjer je potenca matrike
Iz tega sledi, da se za različne matrike z razsežnostjo dobi determinante
Odvod Za določanje odvoda se uporablja Jacobijev obrazec:
kjer je adjungirana matrika matrike sled matrike Če je matrika obrnljiva, dobimo
Če izrazimo odvod z elementi matrike , velja tudi
Če matriko zapišemo kot kjer so vektorji, potem je gradient po enem izmed teh vektorjev enak vektorskemu produktu drugih dveh:
.
Sklici
Zunanje povezave Determinanta Kalkulator Linearna algebra Izračunavanje vrednosti determinant determinanta na PlanethMath
Kategorija:Matrike Kategorija:Linearna algebra Kategorija:Algebra