Gramova matrika (oznaka ) (tudi gramian) množice vektorjev je Hermitska matrika notranjih produktov. Njeni elementi so dani z
Imenuje se po danskem matematiku Jørgenu Pedersenu Gramu (1850 – 1916).
Ena izmed uporab Gramove matrike je njena pomembnost pri določanju linearne neodvisnosti množice vektorjev. Vektorji so linearno neodvisni, če, in samo, če je njihova Gramova determinanta različna od 0. Gramova determinanta je determinanta Gramove matrike.
Gramova matrika
Gramova matrika je določena z . ali
kjer je notranji produkt vektorjev in .
Gramova determinanta
Gramova determinanta je determinanta Gramove matrike. Določena je z
kjer je notranji produkt vektorjev in .
Gramova determinanta je kvadrat prostornine paralelotopa (posplošitev paralelepipeda na več razsežnosti), ki ga tvorijo vektorji.
Lastnosti
Gramova matrika je pozitivno semidefinitna in vsaka semidefinitna matrika je Gramova matrika za neko skupino vektorjev. Ta množica vektorjev ni enolična. Gramova matrika katerekoli ortogonalne baze je enotska matrika. zaradi spremembe baze, ki je podana z obrnljivo matriko , se Gramova matrika spremeni z matrično kongruenco v .
Glej tudi
seznam vrst matrik
Zunanje povezave
Gramova matrika na MathDaily Gramova matrika v enciklopediji All Science Fair Projects Gramova determinanta na PlanethMath
Kategorija:Matrike Kategorija:Determinante