Coxeterjeva grupa je v matematiki abstraktna grupa, ki omogoča formalni opis grupe v okviru zrcalnih simetrij. Coxeterjeve grupe so končne evklidske zrcalne grupe. Kot zgled služijo simetrijske grupe pravilnih poliedrov. Coxeterjeve grupe so končne in ne morejo biti opisane s simetrijo in evklidskim zrcaljenjem.

Coxeterjeve grupe se veliko uporabljajo. Zgledi končnih Coxeterjevih grup vključujejo grupe simetrije pravilnih politopov in Weylovih grup enostavnih Liejevih algeber. Zgled neskončne Coxeterjeve grupe so tudi trikotniške grupe, ki odgovarjajo pravilni teselaciji evklidske in hiperbolične ravnine.

Grupe se imenujejo po angleško-kanadskem matematiku in geometru H. S. MacDonaldu Coxeterju (1907–2003).

Definicija

Coxeterjevo grupo se lahko definira kot grupo s predstavitvijo grupe kot:

kjer je:

za

Pogoj pomeni, da se odnosa v obliki ne da prikazati.

Končne Coxeterjeve grupe 500px|right|thumb|Coxeterjevi grafi končnih Coxeterjevih grup.

Razvrščanje

Končne Coxeterjeve grupe so razvrstili na osnovi Coxeter-Dinkinovih diagramov. Vse pa so predstavljene z zrcalnimi grupami končnorazsežnih evklidskih prostorov.

Končne Coxeterjeve grupe so sestavljene iz treh enoparameterskih družin z rastočim rangom , eno enoparametersko družino z razsežnostjo dva () in šestimi posebnimi grupami in .

Weylove grupe

Mnoge Coxeterjeve grupe, vendar ne vse, so Weylove grupe, vsaka Weylova grupa pa se lahko prikaže kot Coxeterjeva grupa. Weylove grupe sta družini in ter

Značilnosti

Nekatere značilnosti končnih Coxeterjevih grup so podane v naslednji preglednici:

simbolgrupe drugisimbol notacija z oklepaji rank red sorodni politopi Coxeter-Dinkinov diagramAn An [3n] n (n + 1)! n-simpleks ..BCn Cn [4,3n-1] n 2n n! n-hiperkocka / n-ortopleks ...Dn Bn [3n-3,1,1] n 2n−1 n! n-polhiperkocka ...E6 E6 [32,2,1] 6 72x6! = 51840 221, 122 E7E7 [33,2,1] 7 72x8! = 2903040 321, 231, 132 E8 E8 [34,2,1] 8 192x10! = 696729600 421, 241, 142 F4F4 [3,4,3] 4 1152 24-celica G2 - 2 12 šestkotnik H2 G2 2 10 petkotnik H3 G3 [3,5] 3 120 ikozaeder / dodekaeder H4 G4 [3,3,5] 4 14400 120-celica / 600-celica I2(p) D2p [p] 2 2p p-kotnik

Simetrijske grupe pravilnih politopov

Vse simetrijske grupe pravilnih politopov so končne Coxeterjeve grupe.

Znane so tri skupine pravilnih politopov v vseh mogočih razsežnostih. Simetrijska grupa pravilnega n-simpleksa je simetrijska grupa Sn+1, ki je znana tudi kot Coxeterjeva grupa tipa An. Simetrijska grupa n-kocke in njene dualne oblike n-ortopleksa je BCn, ki pa je znana kot hiperoktaederska grupa.

Posebni pravilni politopi v dveh, treh in štirih razsežnostih odgovarjajo drugim Coxeterjevim grupam. V dveh razsežnostih diedrske grupe, ki je grupa simetrije pravilnih mnogokotnikov, tvorijo skupino I2(p). V treh razsežnostih je simetrijska grupa pravilnih dodekaedrov in njihove dualne oblike ikozaedra je H3, ki je znana kot polna ikozaederska grupa. V štirih razsežnostih so znani trije posebni pravilni politopi. To so 24-celica, 120-celica in 600-celica.

Coxeterjeve grupe tipa Dn, E6, E7 in E8 so polpravilni politopi.

</noinclude> +Pregled družin politopovgrupaAnBCnDn E6 E7 E8 F4 G2HnIn(p) 280px (trikotnik)80px kvadrat 80pxšestkotnik80pxpetkotnikp-kotnik 380pxtetraeder80pxkocka80pxoktaeder80pxtetraeder 80pxdodekaeder80pxikozaeder 480px5-celica80px teserakt80px16-celica80px polteserakt80px24-celica80px120-celica80px600-celica 580px5-simpleks80px5-kocka80px5-ortopleks80px5-polkocka   680px6-simpleks80px6-kocka80px6-ortopleks80px6-polkocka80px12280px221  780px7-simpleks80px7-kocka80px7-ortopleks80px7-polkocka80px13280px23180px321  880px8-simpleks80px8-kocka80px8-ortopleks80px8-polkocka80px14280px24180px421  980px9-simpleks80px9-kocka80px9-ortopleks80px9-polkocka  1080px10-simpleks80px10-kocka80px10-ortopleks80px10-polkocka družinan n-simpleks n-hiperkocka n-ortopleks n-polkocka 1k2 2k1 k21<noinclude> Opomba:Oznake: An, Bn, Cn, Dn, Hn, E6, E7, E8, F4 in G2 so Coxeterjeva števila za posamezne Coxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupe so druga pomembna skupina Coxeterjevih grup. To so tudi končne grupe, toda vsaka vsebuje normalno Abelovo podgrupo tako, da je faktorska grupa končna. Vsekakor pa je faktorska grupa Coxeterjeva grupa. Coxeterjev graf se dobi iz Coxeterjevega grafa Coxeterjeve grupe z dodajanjem novega vozlišča in dveh dodatnih povezav. V nadaljevanju so prikazane afine Coxeterjeve grupe.

simbolgrupe Wittovsimbol notacija z oklepaji sorodne uniformne teselacije Coxeter-Dinkinov diagram Pn+1 [3[n+1]] simplektično satovje:trikotno tlakovanje:tetraedersko-oktaedersko satovje ... Sn+1 [4,3n-2,31,1] polkockino satovje ... Rn+1 [4,3n-1,4] hiperkockino satovje ... Qn+1 [ 31,1,3n-3,31,1] polhiperkubično satovje ... T7 [32,2,2] 222 T8 [33,3,1] 331, 133 T9 [35,2,1] 521, 251, 152 U5 [3,4,3,3] 16-cell satovje 24-celično satovje V3 [6,3] šestkotno tlakovanje intrikotno tlakovanje </sub> W2 [∞] apeirogon

Zunanje povezave

Coxeterjeve grupe