thumb|Od leve proti desni: ploskev z negativno Gaussovo ukrivljenostjo, (hiperboloid), ploskev z ničelno Gaussovo ukrivljenostjo (valj) in ploskev s pozitivno Gaussovo ukrivljenostjo (sfera).
Gaussova ukrívljenost [gáusova ~] (oznaka ) v določeni točki na ploskvi je v diferencialni geometriji produkt glavnih ukrivljenosti κ1 in κ2 v tej točki. Ta vrsta ukrivljenosti se imenuje tudi notranja ukrivljenost, ker je njena vrednost odvisna samo od načina merjenja razdalj na ploskvi, ne pa od tega kako je izometrično vložena v prostor. To je tudi vsebina Gaussovega izreka egregium (veličastni izrek).
Gaussovo ukrivljenost se določi z:
kjer sta: in – glavni ukrivljenosti.
Drugačna definicija
Gaussova ukrivljenost je dana tudi z:
kjer je: – kovariantni odvod – metrični tenzor
Totalna ukrivljenost
thumb|Vsota kotov v trikotniku na ploskvi z negativno ukrivljenostjo je manjša kot pri trikotniku v ravnini.
Ploskovni integral Gaussove ukrivljenosti preko določenega področja ploskve se imenuje totalna ukrivljenost. Totalna ukrivljenost geodetskega trikotnika je enaka odklonu vsote trikotnikovih kotov od . Vsota kotov trikotnika na ploskvi s pozitivno ukrivljenostjo bo večja kot , na ploskvi z negativno ukrivljenostjo pa bo manjša od . Na ploskvah z ničelno ukrivljenostjo (Evklidska ravnina) pa je vsota kotov točno enaka . V splošnem pa velja:
Še splošnejša oblika pa je Gauss-Bonnettov izrek.
Še nekaj definicij
Gaussova ukrivljenost ploskve v R3 se lahko prikaže kot razmerje med determinantama druge in prve fundamentalne forme:
Brioschijev obrazec da Gaussovo ukrivljenost kot izraz v prvi fundamentalni formi:
Za pravokotno parametrizacijo je Gaussova ukrivljenost:
Za ploskev, ki se jo opiše kot graf funkcije , je Gaussova ukrivljenost:
Za ploskev je Gaussova ukrivljenost enaka:Gaussian Curvature on Wolfram MathWorld
Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med obsegom geodetke in krožnice v ravnini:Bertrand–Diquet–Puiseux theorem
Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med površino geodetskega kroga in kroga v ravnini:
Gaussova ukrivljenost se lahko izrazi s Christoffelovimi simboli:
Sklici
Zunanje povezave
Gaussova ukrivljenost Gaussova ukrivljenost v Encyclopedia of Mathematics
Kategorija:Ukrivljenost (matematika) Kategorija:Diferencialna geometrija Kategorija:Diferencialna geometrija ploskev Kategorija:Ploskve Kategorija:Carl Friedrich Gauss