Poliederrazredštevilo in značilnostiplatonska telesa(5, konveksna, pravilna)arhimedska telesa(13, konveksna, uniformna)Kepler-Poinsotov polieder(4, pravilni, nekonveksni)uniformni poliedri(75, uniformni)prizmatoid:prizme, antiprizma itd.(4 neskončni uniformni razredi)tlakovanja poliedrov(11 pravilnih v ravnini)kvazi-pravilni poliedri(8)Johnsonovo telo(92 konveksni, neuniformni)piramide in bipiramide(neskončno)stelacijestelacijapoliederski sestav(5 pravilnih)deltaedri(deltaedri, stranske ploskve so enakostranični trikotniki)prirezani poliedri(12 uniformnih niso zrcalne slike)zonoeder(zonoedri,stranske ploskve imajo 180° simetrijo)dualni poliedersebidualni polieder(neskončno)Catalanovo telo(13, arhimedski duali)
Seznam uniformnih poliedrov po sliki oglišč vsebuje pregled uniformnih poliedrov v odvisnosti od njihove slike oglišč. Nekateri uniformni poliedri se dobijo s prisekovanjem oglišč pravilnih ali kvazipravilnih poliedrov.
Slike oglišč poliedrov
Odnosi postanejo opazni s proučevanjem slik oglišča, ki jih dobimo z naštevanjem stranskih ploskev, ki so sosednje vsakemu oglišču. Primer: kocka ima sliko oglišč 4.4.4, kar pomeni tri sosednje stranske ploskve. Možni pa so: 3 enakostranični trikotniki 4 kvadrati 5 pravilnih petkotnikov 6 pravilnih šestkotnikov 8 pravilnih osemkotnikov
Nekatere stranske ploskve izgledajo kot, da so obratno orientirane, kar zapišemo kot -3 trikotnik z obratno orientacijo (pogosto zapišemo kot 3/2) Drugi pa potekajo skozi izhodišče, kar zapišemo kot 6* to pa je šestkotnik, ki gre skozi izhodišče. Johnson je razvrstil uniformne poliedre na naslednji način:320px|right|thumbnail|Primeri slik oglišč pravilni (s pravilno mnogokotniško sliko oglišč): pq, z Wythoffovim simbolom q|p 2 kvazi-pravilni (pravokotne ali ditrigonalne slike oglišč): p.q.p.q 2|p q ali p.q.p.q.p.q, Wythoffov simbol 3|p q verzi-pravilni (ortodiagonalne slike oglišč), p.q*.-p.q*, Wythoffov simbol q q|p prisekani pravilni (enakokrake trikotne slike oglišč): p.p.q, Wythoffov simbol q 2|p verzi-kvazi-pravilni (dipteroidalne slike oglišč), p.q.p.r Wythoffov simbol q r|p kvazi-kvazi-pravilni (trapezoidalne slike oglišč): p*.q.p*.-r q.r|p or p.q*.-p.q* p q r| prisekani kvazi-pravilnir (raznostranične trikotne slike oglišč), p.q.r Wythoffov simbol p q r| prirezani kvazi-pravilni (petkotne, šestkotne ali osemkotne slike oglišč), Wythoffov simbol p q r| prizme (prisekani hozoedri), antiprizme in križne antiprizme (prirezani diedri)
Prisekane oblike Pravilni poliedri in njihove prisekane oblike slika oglišč grupa A: pravilni: p.p.p B: prisekani pravilni: p.p.r80px3.3.3 80px3.6.6 Td100px tetraeder 3|2 3 W1, U01, K06, C15 V 4,E 6,F 4=4{3} χ=2100px prisekani tetraeder 2 3|3 W6, U02, K07, C16 V 12,E 18,F 8=4{3}+4{6} χ=2 80px3.3.3.3 80px4.6.6 Oh100px oktaeder 4|2 3, 34 W2, U05, K10, C17 V 6,E 12,F 8=8{3} χ=2100px prisekani oktaeder 2 4|3 W7, U08, K13, C20 V 24,E 36,F 14=6{4}+8{6} χ=2 80px4.4.4 80px3.8.8 Oh 100px heksaeder (kocka) 3|2 4 W3, U06, K11, C18 V 8,E 12,F 6=6{4} χ=2100px prisekani heksaeder 2 3|4 W8, U09, K14, C21 V 24,E 36,F 14=8{3}+6{8} χ=280px3.3.3.3.3 80px5.6.6 Ih100px ikozaeder 5|2 3 W4, U22, K27, C25 V 12,E 30,F 20=20{3} χ=2100px prisekani ikozaeder 2 5|3 W9, U25, K30, C27 E 60,V 90,F 32=12{5}+20{6} χ=2 80px5.5.5 80px4.10.10 Ih100px dodekaeder 3|2 5 W5, U23, K28, C26 V 20,E 30,F 12=12{5} χ=2100px prisekani dodekaeder 2 3|5 W10, U26, K31, C29 V 60,E 90,F 32=20{3}+12{10} χ=280px5.5.5.5.5 80px5/2.10.10 Ih100px veliki dodekaeder 5/2|2 5 W21, U35, K40, C44 V 12,E 30,F 12=12{5} χ=-6100px prisekani veliki dodekaeder 25/2|5 W75, U37, K42, C47 V 60,E 90,F 24=12{5/2}+12{10} χ=-6 80px3.3.3.3.3 80px5/2.6.6. Ih100px veliki ikozaeder (16-to zvezdenje ikozaedra) 5/2|2 3 W41, U53, K58, C69 V 12,E 30,F 20=20{3} χ=2100px veliki prisekani ikozaeder 25/2|3 W95, U55, K60, C71 V 60,E 90,F 32=12{5/2}+20{6} χ=280px5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 Ih100px mali zvezdni dodekaeder 5|25/2 W20, U34, K39, C43 V 12,E 30,F 12=12{5/2} χ=-680px5/2.5/2.5/2 Ih100px veliki zvezdni dodekaeder 3|25/2 W22, U52, K57, C68 V 20,E 30,F 12=12{5/2} χ=2
Dodatno obstajajo še tri kvazi prisekane oblike. Te so tudi poseben razred prisekanih pravilnih poliedrov.
slike ogliščgroupa Ohgroupa Ihgroupa Ih80px3.8/3.8/3 80px5.10/3.10/3 80px3.10/3.10/3100px zvezdni prisekan heksaeder (kvaziprisekani heksaeder) (zvezdnoprisekana kocka) 2 3|4/3 W92, U19, K24, C66 V 24,E 36,F 14=8{3}+6{8/3} χ=2100px mali zvezdni prisekan dodekaeder (kvaziprisekan mali zvezdni dodekaeder) (mali zvezdno prisekani dodekaeder) 2 5|5/3 W97, U58, K63 V 60,E 90,F 24=12{5}+12{10/3} χ=-6100px veliki zvezdni prisekani dodekaeder (kvaziprisekan zvezdni dodekaeder) (veliki zvezdnoprisekani dodekaeder) 2 3|5/3 W104, U66, K71, C83 V 60,E 90,F 32=20{3}+12{10/3} χ=2
Prisekane oblike kvazi-pravilnih poliedrov Stolpec A vsebuje nekatere kvazi-pravilne poliedre, stolpec B vsebuje običajno prisekane oblike, stolpec C vsebuje kvazi-prisekane oblike, stolpec D prikazuje različne načine prisekovanja. Vse te prisekane oblike imajo imajo sliko oglišč p.q.r in Wythoffov simbol p q r|.
slika oglišč grupa A: kvazi-pravilni: p.q.p.q B: prisekani kvazi-pravilni: p.q.r C: prisekani kvazi-pravilni: p.q.r D: prisekani kvazi-pravilni: p.q.r 80x80_pik3.4.3.4 80px4.6.8 80px4.6.8/3 80px8.6.8/3 Oh100px kubooktaeder 2|3 4 W11, U07, K12, C19 V 12,E 24,F 14=8{3}+6{4} χ=2100px veliki rombikubooktaeder (rombiprisekani kubooktaeder) (prisekani kubooktaeder) 2 3 4| W15, U11, K16, C23 V 48,E 72,F 26=12{4}+8{6}+6{8} χ=2100px veliki prisekani kubooktaeder (kvaziprisekani kubooktaeder) 2 34/3| W93, U20, K25, C67 V 48,E 72,F 26=12{4}+8{6}+6{8/3} χ=2100px kubiprisekanikubooktaeder (kuboprisekani kubooktaeder) 3 44/3| W79, U16, K21, C52 V 48,E 72,F 20=8{6}+6{8}+6{8/3} χ=-4 80px3.5.3.5 80px4.6.10 80px4.6.10/3 80px10.6.10/3 Ih100px ikozidodekaeder 2|3 5 W12, U24, K29, C28 V 30,E 60,F 32=20{3}+12{5} χ=2100px veliki rombiikozidodekaeder (rombiprisekani ikozidodekaeder) (prisekani ikozidodekaeder) 2 3 5| W16, U28, K33, C31 V 120,E 180,F 62=30{4}+20{6}+12{10} χ=2100px veliki prisekani ikozidodekaeder (veliki kvaziprisekani ikozidodekaeder) 2 35/3| W108, U68, K73, C87 V 120,E 180,F 62=30{4}+20{6}+12{10/3} χ=2100px ikoziprisekani dodekaeder (ikozidodekaprisekani ikozidodekaeder) 3 55/3| W84, U45, K50, C57 V 120,E 180,F 44=20{6}+12{10}+12{10/3} χ=-1680px5/2.5.5/2.5 80px 4.10.10/3Ih100px dodekadodekaeder 2 5|5/2 W73, U36, K41, C45 V 30,E 60, F 24=12{5}+12{5/2} χ=-6100px prisekani dodekadodekaeder (kvaziprisekani dodekaeder) 2 55/3| W98, U59, K64, C75 V 120,E 180,F 54=30{4}+12{10}+12{10/3} χ=-6 80px 3.5/2.3.5/2 Ih 100px veliki ikozidodekaeder 2 3|5/2 W94, U54, K59, C70 V 30,E 60, F 32=20{3}+12{5/2} χ=2 Poliedri s skupnimi robovi in oglišči Pravilni V preglednici je prikazanih nekaj odnosov. Vsi so praviloma ločeni od tetrahemiheksadronov, ki pa je verzi pravilen.
slika oglišč V E group regular regular/versi-regular 80px3.3.3.3 3.4*.-3.4* 6 12 Oh100px oktaeder 4|2 3 W2, U05, K10, C17 F 8=8{3} χ=2100px tetrahemiheksaeder <SUP>3<te so tudi/SUP>/23|2 W67, U04, K09, C36 F 7=4{3}+3{4} χ=180px3.3.3.3.3 80px5.5.5.5.5 12 30 Ih100px ikozaeder 5|2 3 W4, U22, K27 F 20=20{3} χ=2100px veliki dodekaeder 5/2|2 5 W21, U35, K40, C44 F 12=12{5} χ=-680px5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 80px3.3.3.3.3 12 30 Ih100px mali zvezdni dodekaeder 5|25/2 W20, U34, K39, C43 F 12=12{5/2} χ=-6100px veliki ikozaeder (16-to zvezdenje ikozaedra) 5/2|2 3 W41, U53, K58, C69 F 20=20{3} χ=2
Kvazi-pravilni in verzi-pravilni
Pravokotne slike oglišč ali prekrižani pravokotniki in prekrižani pravokotniki so v prvi koloni so kvazi pravilni v drugi in tretji koloni pa so polpoliedri s stranskimi ploskvami, ki tečejo skozi izhodišče in jih nekateri avtorji imenujejo verzi pravilni.
slika oglišč V E grupa kvazi-pravilni: p.q.p.q verzi-pravilni: p.s*.-p.s* verzi-pravilni: q.s*.-q.s* 80px 3.4.3.4 3.6*.-3.6* 4.6*.-4.6* 12 24 Oh100px kubooktaeder 2|3 4 W11, U07, K12, C19 F 14=8{3}+6{4} χ=2100px oktahemioktaeder 3/23|3 W68, U03, K08, C37 F 12=8{3}+4{6} χ=0100px kubohemioktaeder 4/34|3 W78, U15, K20, C51 F 10=6{4}+4{6} χ=-2 80px 3.5.3.5 3.10*.-3.10* 5.10*.-5.10* 30 60 Ih100px ikozidodekaeder 2|3 5 W12, U24, K29, C28 F 32=20{3}+12{5} χ=2100px mali ikozihemidodekaeder 3/23|5 W89, U49, K54, C63 F 26=20{3}+6{10} χ=-4100px mali dodekahemidodekaeder 5/45|5 W91, U51, K56, 65 F 18=12{5}+6{10} χ=-12 80px 3.5/2.3.5/2 3.10*.-3.10* 5/2.10*.-5/2.10* 30 60 Ih 100px veliki ikozidodekaeder 2|5/23 W94, U54, K59, C70 F 32=20{3}+12{5/2} χ=2100px veliki ikozihemidodekaeder 3 3|5/3 W106, U71, K76, C85 F 26=20{3}+6{10/3} χ=-4100px veliki dodekahemidodekaeder 5/35/2|5/3 W107, U70, K75, C86 F 18=12{5/2}+6{10/3} χ=-12 80px 5.5/2.5.5/2 5.6*.-5.6* 5/2.6*.-5/2.6* 30 60 Ih100px dodekadodekaeder 2|5/25 W73, U36, K41, C45 F 24=12{5}+12{5/2} χ=-6100px veliki dodekahemiikozieder 5/45|3 W102, U65, K70, C81 F 22=12{5}+10{6} χ=-8100px mali dodekahemiikozieder 5/35/2|3 W100, U62, K67, C78 F 22=12{5/2}+10{6} χ=-8
Ditrigonalni in verzi-pravilni
Ditrigonalne (to je di(2) -tri(3)-kotne) slike oglišč so 3-kratni analogi pravokotnika. Ti so vsi kvazi-pravilni, ker so vsi robovi izomorfni. Sestava 5-kock vsebuje isto množico robov in oglišč. Prekrižane oblike imajo ne-orientabilne slike oglišč tako, da oznaka "-" ni bila uporabljena in "*" stranske ploskve tečejo blizu in ne skozi izhodišče.
slika oglišča V E grupa ditrogonalna prekrižana-ditrogonalna prekrižana-ditrogonalna 80px 5/2.3.5/2.3.5/2.3 5/2.5*.5/2.5*.5/2.5* 3.5*.3.5*.3.5* 20 60 Ih100px mali ditrigonalni ikozidodekaeder 3|5/23 W70, U30, K35, C39 F 32=20{3}+12{5/2} χ=-8100px ditrigonalni dodekadodekaeder 3|5/35 W80, U41, K46, C53 F 24=12{5}+12{5/2} χ=-16100px veliki ditrigonalni ikozidodekaeder 3/2|3 5 W87, U47, K52, C61 F 32=20{3}+12{5} χ=-8
Verzi-kvazi-pravilni in kvazi-kvazi-pravilni Skupina III: trapezoid ali prekrižane trapezoidne slike oglišč. Prvi stolpec vključuje konveksne rombske poliedre, ki nastanejo z vključitvijo dveh kvadratov v sliko oglišč kubooktaedra in ikozidodekaedra.
vertex figure V E grupa trapezoid: p.q.r.q prekrižani-trapezoid: p.s*.-r.s* prekrižani-trapezoid: q.s*.-q.s* 80px 3.4.4.4 3.8*.-4.8* 4.8*.-4.8* 24 48 Oh100px mali rombikubooktaeder (rombikubooktaeder) 3 4|2 W13, U10, K15, C22 F 26=8{3}+(6+12){4} χ=2100px mali kubokubooktaeder 3/24|4 W69, U13, K18, C38 F 20=8{3}+6{4}+6{8} χ=-4100px mali rombiheksaeder 2 3/2 4| W86, U18, K23, C60 F 18=12{4}+6{8} χ=-6 80px 3.8/3.4.8/3 3.4*.-4.4* 8/3.4*.-8/3.4* 24 48 Oh100px veliki kubikubooktaeder 3 4|4/3 W77, U14, K19, C50 F 20=8{3}+6{4}+6{8/3} χ=-4100px nekonveksni veliki rombikubooktaeder (kvazirombikubooktaeder) 3/24|2 W85, U17, K22, C59 F 26=8{3}+(6+12){4} χ=2100px veliki rombiheksaeder 2 4/33/2| W103, U21, K26, C82 F 18=12{4}+6{8/3} χ=-6 80px 3.4.5.4 3.10*.-5.10* 4.10*.-4.10* 60 120 Ih100px mali rombikozidodekaeder (rombikozidodekaeder) 3 5|2 W14, U27, K32, C30 F 62=20{3}+30{4}+12{5} χ=2100px mali dodecikozidodekaeder 3/25|5 W72, U33, K38, C42 F 44=20{3}+12{5}+12{10} χ=-16100px mali rombidodekaeder 25/25| W74, U39, K44, C46 F 42=30{4}+12{10} χ=-18 80px 5/2.4.5.4 5/2.6*.-5.6* 4.6*.-4.6* 60 120 Ih100px rombidodekadodekaeder 5/25|2 W76, U38, K43, C48 F 54=30{4}+12{5}+12{5/2} χ=-6100px ikozidodekadodekaeder 5/35|3 W83, U44, K49, C56 F 44=12{5}+12{5/2}+20{6} χ=-16100px rombiikozaeder 2 35/2| W96, U56, K61, C72 F 50=30{4}+20{6} χ=-10 80px 3.10/3.5/2.10/3 3.4*.-5/2.4* 10/3.4*.-10/3.4* 60 120 Ih100px veliki dodeciikozidodekaeder 5/23|5/3 W99, U61, K66, C77 F 44=20{3}+12{5/2}+12{10/3 } χ=-16100px nekonveksni veliki rombiikozidodekaeder (kvazirombiikozidodekaeder) 5/33|2 W105, U67, K72, C84 F 62=20{3}+30{4}+12{5/2} χ=2100px veliki rombidodekaeder 2 3/25/3| W109, U73, K78, C89 F 42=30{4}+12{10/3} χ=-18 80px 3.6.5/2.6 3.10*.-5/2.10* 6.10*.-6.10* 60 120 Ih100px mali ikoziikozidodekaeder 5/23|3 W71, U31, K36, C40 F 52=20{3}+12{5/2}+20{6} χ=-8100px mali ditrigonalni dodeciikozidodekaeder 5/33|5 W82, U43, K48, C55 F 44=20{3}+12{5/2}+12{10} χ=-16100px